Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu đặt tại gốc tọa độ O(0; 0; 0). Mỗi đơn vị trên trục tọa độ tương ứng với 1km. Một máy bay đang ở vị trí A(−688; −185; 8), chuyển động theo đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (91; 75; 0) và bay theo hướng về phía đài kiểm soát không lưu. Máy bay sẽ được hiển thị trên màn hình ra-đa nếu nó nằm trong phạm vi cách đài kiểm soát không quá 417 km. Gọi E(a; b; c) là vị trí đầu tiên mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra-đa. Tính giá trị a + b + c.

Bạn Nam thường đi bơi ở hồ bơi Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài $25m$, chiều rộng $15,5m$ và bên cạnh đó có một hồ bán nguyệt đường kính $10m$ (tham khảo hình vẽ 1). Trong một lần bể bơi vắng người nên Nam đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp theo đoạn thẳng $CM$, với $M$ là một vị trí bất kì trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm $D$ dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí $A$ và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ 2).



Biết rằng vận tốc bơi của Nam là $2,7km/h$, vận tốc đi bộ là $5,4km/h$ và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Nam thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phòng khách nhà bác Nam có dạng là một hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=6m$, $BC=7m$, $A{A}^{\prime }=3m$. Để chuẩn bị đón Tết Nguyên Đán bác lên kế hoạch trang trí cho phần không gian của phòng khách bằng các dây đèn trang trí $NC$, $BM$, $EF$ được mắc như hình vẽ sau:



Biết rằng $EF$ song song với $AC$ và $BN=2m$; $DM=1m$. Giá mỗi mét dây đèn trang trí là 90000 đồng. Hỏi số tiền bác Nam cần dùng để mua dây đèn trang trí là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam và 3 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 0,4 km, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc và 1 km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 0,3 km. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất (giả sử mặt đất là một mặt phẳng) và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$, $P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $AD$. Biết rằng $BM$ và $NP$ vuông góc với nhau.

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=BC=2$, $A^{\prime }B=A^{\prime }C=A^{\prime }A=3$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BC$. Trên đoạn $A^{\prime }A,A^{\prime }B$ lấy các điểm $P,Q$ tương ứng sao cho $A^{\prime }P=1,A^{\prime }Q=2$. Tính thể tích khối tứ diện $MNPQ$ (làm tròn đến chữ số phần trăm).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(2;-1;6)$, $B(1;1;2)$, $C(-3;-2;4)$, $D(6;-4;1)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(Oyz)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T={\left(\frac{\overline{MA}}{\overline{MD}}\right)}^2-3{\left(\frac{\overline{MB}}{\overline{MD}}\right)}^2+{\left(\frac{\overline{MC}}{\overline{MD}}\right)}^2$ là