Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=BC=2$, $A^{\prime }B=A^{\prime }C=A^{\prime }A=3$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BC$. Trên đoạn $A^{\prime }A,A^{\prime }B$ lấy các điểm $P,Q$ tương ứng sao cho $A^{\prime }P=1,A^{\prime }Q=2$. Tính thể tích khối tứ diện $MNPQ$ (làm tròn đến chữ số phần trăm).

Trong đợt mua lũ lịch sử tại miền Trung, hai ngôi làng nằm sâu trong vùng ngập lụt đang bị cô lập hoàn toàn. Đội cứu hộ sử dụng hai chiếc Flycam (máy bay không người lái) để thả nhu yếu phẩm và quan sát mực nước.
- Flycam E đang hoạt động tại vị trí có tọa độ E(0;10;20).
- Flycam F đang hoạt động tại vị trí có tọa độ F(0;19;25).



(Đơn vị đo khoảng cách là km, cao độ so với mực nước biển).

Trục Oy mô phỏng tuyến Quốc lộ 1A – con đường huyết mạch duy nhất lúc này chưa bị ngập sâu và xe chuyên dụng có thể di chuyển được.

Ban chỉ huy cần đặt một Xe Trạm thu phát tín hiệu lưu động $M$ nằm trên Quốc lộ 1A (trục Oy) để điều khiển cả hai Flycam. Gọi $M(0;y;0)$ là điểm sao cho tổng khoảng cách từ xe đến hai Flycam $ME+MF$ là ngắn nhất. Tìm $y$.

Trong đợt mua lũ lịch sử tại miền Trung, hai ngôi làng nằm sâu trong vùng ngập lụt đang bị cô lập hoàn toàn. Đội cứu hộ sử dụng hai chiếc Flycam (máy bay không người lái) để thả nhu yếu phẩm và quan sát mực nước.

- Flycam A đang hoạt động tại vị trí có tọa độ E(0;2;4).
- Flycam B đang hoạt động tại vị trí có tọa độ F(0;11;8).



(Đơn vị đo khoảng cách là km, cao độ so với mực nước biển).

Trục Oy mô phỏng tuyến Quốc lộ 1A – con đường huyết mạch duy nhất lúc này chưa bị ngập sâu và xe chuyên dụng có thể di chuyển được.

Ban chỉ huy cần đặt một Xe Trạm thu phát tín hiệu lưu động $M$ nằm trên Quốc lộ 1A (trục Oy) để điều khiển cả hai Flycam. Gọi $M(0;y;0)$ là điểm sao cho tổng khoảng cách từ xe đến hai Flycam $ME+MF$ là ngắn nhất. Tìm $y$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 20 cm. Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí $A$ và $D$, kiến vàng đi thẳng từ $A$ đến $D^{\prime }$ với vận tốc 2 cm/s và kiến đen đi thẳng từ $D$ đến $B$ với vận tốc 3 cm/s. Hỏi khoảng cách ngắn nhất giữa hai chú kiến là bao nhiêu cm. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Câu 3: Ba chiếc flycam I, II, III được điều khiển cùng bay lên tại tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất (I) cách mặt đất $3m$, cách điểm xuất phát $3m$ về phía nam và $2m$ về phía đông. Chiếc flycam thứ hai (II) cách mặt đất $6m$, cách điểm xuất phát $9m$ về phía nam và $9m$ về phía đông. Chiếc flycam thứ ba (III) cách mặt đất $6m$, cách điểm xuất phát $6m$ về phía bắc và $4m$ về phía tây. Quy ước hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ trùng với điểm xuất phát của ba chiếc flycam, mặt đất là tập hợp các điểm có cao độ bằng 0 cùng với hai trục $Ox,Oy$ lần lượt hướng về phía nam và phía đông. Giả sử nếu giữ nguyên vị trí flycam I, III và flycam II hạ độ cao xuống theo phương vector $\vec{v}=(0;-3;-2)$ với độ dài là $\sqrt{13}km$, thì lúc này trên mặt đất người ta xác định được một vị trí $M$ sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến ba chiếc flycam là ngắn nhất. Tính khoảng cách từ điểm xuất phát $O$ đến vị trí $M$ đó (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm $A(5;7;10)$ và $B(6;9;12)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm $C(15;17;5)$ và $D$ (điểm $D$ ở độ cao $26m$ so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn chạm với nhau tại vị trí cách điểm $A$ một khoảng $150m$ (hình vẽ).



Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

a) Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=2AB$ và điểm $E$ thỏa mãn $\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{CD}$. Gọi $F$ là điểm thuộc đoạn thẳng $A{B}^{\prime }$ sao cho $A^{\prime }F$ vuông góc với $A^{\prime }E$. Tính tỷ số $\frac{FA}{F{B}^{\prime }}$.

b) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, cạnh bên $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Cho biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng $a$; góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $\alpha$, với $\cos \alpha =\frac{1}{3\sqrt{2}}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a$.