Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam và 3 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 0,4 km, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc và 1 km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 0,3 km. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất (giả sử mặt đất là một mặt phẳng) và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$, $P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $AD$. Biết rằng $BM$ và $NP$ vuông góc với nhau.

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=BC=2$, $A^{\prime }B=A^{\prime }C=A^{\prime }A=3$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BC$. Trên đoạn $A^{\prime }A,A^{\prime }B$ lấy các điểm $P,Q$ tương ứng sao cho $A^{\prime }P=1,A^{\prime }Q=2$. Tính thể tích khối tứ diện $MNPQ$ (làm tròn đến chữ số phần trăm).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(2;-1;6)$, $B(1;1;2)$, $C(-3;-2;4)$, $D(6;-4;1)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(Oyz)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T={\left(\frac{\overline{MA}}{\overline{MD}}\right)}^2-3{\left(\frac{\overline{MB}}{\overline{MD}}\right)}^2+{\left(\frac{\overline{MC}}{\overline{MD}}\right)}^2$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2AB=2\sqrt{2}$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=4$. Gọi $M,N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{SN}=y\overrightarrow{SC}$ và độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất. Tổng $2x+3y$ bằng

Trong đợt mua lũ lịch sử tại miền Trung, hai ngôi làng nằm sâu trong vùng ngập lụt đang bị cô lập hoàn toàn. Đội cứu hộ sử dụng hai chiếc Flycam (máy bay không người lái) để thả nhu yếu phẩm và quan sát mực nước.
- Flycam E đang hoạt động tại vị trí có tọa độ E(0;10;20).
- Flycam F đang hoạt động tại vị trí có tọa độ F(0;19;25).



(Đơn vị đo khoảng cách là km, cao độ so với mực nước biển).

Trục Oy mô phỏng tuyến Quốc lộ 1A – con đường huyết mạch duy nhất lúc này chưa bị ngập sâu và xe chuyên dụng có thể di chuyển được.

Ban chỉ huy cần đặt một Xe Trạm thu phát tín hiệu lưu động $M$ nằm trên Quốc lộ 1A (trục Oy) để điều khiển cả hai Flycam. Gọi $M(0;y;0)$ là điểm sao cho tổng khoảng cách từ xe đến hai Flycam $ME+MF$ là ngắn nhất. Tìm $y$.

Trong đợt mua lũ lịch sử tại miền Trung, hai ngôi làng nằm sâu trong vùng ngập lụt đang bị cô lập hoàn toàn. Đội cứu hộ sử dụng hai chiếc Flycam (máy bay không người lái) để thả nhu yếu phẩm và quan sát mực nước.

- Flycam A đang hoạt động tại vị trí có tọa độ E(0;2;4).
- Flycam B đang hoạt động tại vị trí có tọa độ F(0;11;8).



(Đơn vị đo khoảng cách là km, cao độ so với mực nước biển).

Trục Oy mô phỏng tuyến Quốc lộ 1A – con đường huyết mạch duy nhất lúc này chưa bị ngập sâu và xe chuyên dụng có thể di chuyển được.

Ban chỉ huy cần đặt một Xe Trạm thu phát tín hiệu lưu động $M$ nằm trên Quốc lộ 1A (trục Oy) để điều khiển cả hai Flycam. Gọi $M(0;y;0)$ là điểm sao cho tổng khoảng cách từ xe đến hai Flycam $ME+MF$ là ngắn nhất. Tìm $y$.