Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A^{\prime }BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$.

Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=\frac{M{A}^2}{O{A}^2}+\frac{M{B}^2}{O{B}^2}+\frac{M{C}^2}{O{C}^2}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ biết $A(3;-2;-1),B(1;4;6);C(3;38;-16),D(2;5;1)$.

Trong một nhà kho rộng, người ta thiết lập một hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị tính là mét) để định vị các vật thể.
- Gốc O được đặt tại một góc phòng.
- Trục Ox và Oy chạy dọc theo hai mép sàn (giao tuyến giữa tường và sàn nhà).
- Trục Oz chạy dọc theo cạnh tường thẳng đứng (giao tuyến giữa hai bức tường).
Một chiếc camera an ninh (S) được lắp đặt tại vị trí có tọa độ S(1; 2; 3).
Để giữ cho camera ổn định tuyệt đối, người ta sử dụng ba sợi dây cáp căng thẳng, nối camera (S) tới ba điểm neo A, B, C. Các điểm neo này được đặt như sau:
- Điểm neo A nằm trên mép sàn Ox.
- Điểm neo B nằm trên mép sàn Oy.
- Điểm neo C nằm trên cạnh tường Oz.
Do yêu cầu kỹ thuật đặc biệt của bộ gá, ba sợi dây cáp SA, SB, và SC được thiết kế và lắp đặt sao cho chúng đôi một vuông góc với nhau.
Tính thể tích của khối tứ diện S.ABC được tạo bởi camera (S) và ba điểm neo A, B, C. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng: cạnh $AB=a$, $AD=2a$, cạnh bên $SA=2a$ và $SA\perp (ABCD)$. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$, $SD$. Khi đó:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng: cạnh $AB=a$, $AD=2a$, cạnh bên $SA=2a$ và $SA\perp (ABCD)$. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$, $SD$. Khi đó:

Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $8m$, rộng $6m$ và cao $4m$ có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt $A$ treo chính giữa bức tường $8m$ và cách trần $1m$, chiếc quạt $B$ treo chính giữa bức tường $6m$ và cách trần $1,5m$. Hỏi khoảng cách giữa hai chiếc quạt $AB$ cách nhau bao nhiêu $m$ (Làm tròn đến hàng phần trăm)