Cho hai biểu thức $f(x)=3^x-9$ và $g(x)={\log }_{2}x+a-2$ với $a$ là tham số.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=3^x-9$ và $g(x)={\log }_{2}x+a-2$ (miền xác định $x>0$).

a) $g(x)=3\iff {\log }_{2}x=5-a\iff x=2^{5-a}$. Cần $1\le 2^{5-a}<8\iff 0\le 5-a<3\iff 2<a\le 5$, cho 3 giá trị nguyên $a\in \{3;4;5\}$, không phải 4. → Sai.

b) $f(x)<0\iff x<2$ (chỉ $x=1$ nguyên dương), $f(2)=0$, $f(x)>0\iff x>2$.
- Với $x=1$: cần $g(1)=a-2>0\iff a>2$; khi đó với mọi $x\ge 3$ có $g(x)>0,f(x)>0$ nên không thỏa → mỗi $a\ge 3$ cho đúng 1 giá trị $x$.
- Với $x\ge 3$: cần $g(x)<0\iff x<2^{2-a}$. Với $a=1$: $2^{2-a}=2\le 3$ nên không có $x$ (lưu ý $g(3)={\log }_{2}3-1>0$), không thỏa. Với $a=0$: chỉ $x=3$ (vì $g(4)=0$) → 1 giá trị, thỏa. Với $a=-1$: $x<8$, các $x=3,4,5,6,7$ → đúng 5 giá trị, thỏa. Với $a\le -2$: có $x=3,\dots ,15$ (13 giá trị) trở lên → không thỏa. Với $a=2$: $g(1)=0$ và không có $x\ge 3$ → không thỏa.
Vậy các giá trị nguyên $a\in (-20;20)$ thỏa mãn là $a\in \{-1;0\}\cup \{3;4;\dots ;19\}$, tức $2+17=19$ giá trị. → Đúng.

c) $2g(x)=2{\log }_{2}x+2a-4$, phương trình trở thành $2{\log }_{2}x={\log }_2(2x-1{)}^2\iff {\log }_2{x}^2={\log }_2(2x-1{)}^2\iff x^2=(2x-1{)}^2\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$. Cả hai đều thỏa miền xác định ($x>0$, $x\ne \frac{1}{2}$). Vậy có đúng 2 nghiệm. → Đúng.

d) $3^x-9>2\cdot 3^{x-1}\iff 3\cdot 3^{x-1}-2\cdot 3^{x-1}>9\iff 3^{x-1}>9=3^2\iff x>3$. Tập nghiệm là $(3;+\infty )$, không phải $(2;+\infty )$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=3\iff x=2^{5-a}\in [1;8)\iff 2<a\le 5$, chỉ có 3 giá trị nguyên $a\in \{3;4;5\}$, không phải 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x=1$ cần $a>2$ (khi đó mỗi $a\ge 3$ cho đúng 1 giá trị $x$); $x\ge 3$ cần $g(x)<0\iff x<2^{2-a}$: $a=0$ cho 1 giá trị ($x=3$), $a=-1$ cho đúng 5 giá trị ($x=\mathrm{3..7}$), $a\le -2$ cho quá 5 giá trị, $a=1,2$ không có giá trị nào. Vậy $a\in \{-1;0\}\cup \{3;\dots ;19\}$: $2+17=19$ giá trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2{\log }_{2}x={\log }_2(2x-1{)}^2\iff x^2=(2x-1{)}^2\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$, đều hợp lệ → 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3^x-9>2\cdot 3^{x-1}\iff 3^{x-1}>9\iff x>3$; tập nghiệm là $(3;+\infty )$.