Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x-1}$, $f(0)=1$, $f(1)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \frac{2}{2x-1}dx=\ln |2x-1|+C$ trên mỗi khoảng liên tục. Vì $f$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1/2\}$, hằng số nguyên hàm khác nhau trên hai khoảng: $f(x)=\ln (2x-1)+C_1$ với $x>1/2$ và $f(x)=\ln (1-2x)+C_2$ với $x<1/2$. Từ $f(1)=0$: $\ln 1+C_1=0\Rightarrow C_1=0$. Từ $f(0)=1$: $\ln 1+C_2=1\Rightarrow C_2=1$. Vậy $f(-2)=\ln 5+1=1+\ln 5$ (đúng); $f(-1)+f(3)=(\ln 3+1)+\ln 5=1+\ln 15\ne \ln 15$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $\frac{2}{2x-1}$ là $\ln |2x-1|+C$, đúng trên mỗi khoảng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ xác định trên hai khoảng $(-\infty ;1/2)$ và $(1/2;+\infty )$, hằng số $C$ có thể khác nhau trên mỗi khoảng, nên biểu diễn phân đoạn với $C_1,C_2$ là đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<1/2$: $f(x)=\ln (1-2x)+C_2$, $f(0)=1\Rightarrow C_2=1$, nên $f(-2)=\ln 5+1=1+\ln 5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_1=0$ (từ $f(1)=0$), $C_2=1$ (từ $f(0)=1$). Suy ra $f(-1)=\ln 3+1$, $f(3)=\ln 5$, nên $f(-1)+f(3)=1+\ln 15\ne \ln 15$.