Cho hàm số $f(x)=2x-\sin x$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: đạo hàm của $G(x)=F(x)+C$ là $G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)=f(x)$, nên $G$ cũng là nguyên hàm của $f$. b) Sai: $\int (2x-\sin x)\mathrm{d}x=x^2+\cos x+C$ (vì $\int -\sin x\mathrm{d}x=\cos x$), không phải $x^2-\cos x+C$. c) Đúng: ${\int }_0^{\pi /3}(2x-\sin x)\mathrm{d}x={\left[x^2+\cos x\right]}_0^{\pi /3}=\frac{{\pi }^2}{9}+\frac{1}{2}-1=\frac{{\pi }^2}{9}-\frac{1}{2}$. d) Sai: trên $[-1;0)$ có $f(x)<0$ (ví dụ $f(-1)=-2+\sin 1\approx -1,16<0$) và $f(x)>0$ trên $(0;2]$, nên diện tích phải tính bằng $-{\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-1}^2|f(x)|\mathrm{d}x$, không bằng ${\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)=f(x)$ nên $G$ là nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $x^2+\cos x+C$ vì $\int -\sin x\mathrm{d}x=\cos x+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\left[x^2+\cos x\right]}_0^{\pi /3}=\frac{{\pi }^2}{9}+\frac{1}{2}-1=\frac{{\pi }^2}{9}-\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)<0$ trên $[-1;0)$ và $f(x)>0$ trên $(0;2]$, nên diện tích $={\int }_{-1}^2|f(x)|\mathrm{d}x$, khác ${\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x$.