Gọi $C$ là nửa đường tròn đường kính $AB=2$, $C_1$ là hình gồm hai nửa hình tròn đường kính $\frac{AB}{2}$, $C_2$ là hình gồm bốn nửa hình tròn đường kính $\frac{AB}{4}$, …., $C_n$ là hình gồm $2^n$ nửa hình tròn đường kính $\frac{AB}{2^n}$,…. (Hình minh họa). Gọi $S_n$ là diện tích của hình $C_n$. Giá trị của $S_1+S_2+S_3+.....+S_n+.....$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, đáy lớn $AD=4$, các cạnh $AB=BC=CD=2$. Biết $SA=2$ và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy $(ABCD)$. Diện tích của tam giác $SBD$ bằng bao nhiêu?

Một bánh xe đu có đường kính 20(m) và cách mặt đất 1(m) quay đều ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ 0,5 vòng/phút. Một người ngồi trên bánh xe đu ở vị trí thấp nhất so với mặt đất. Hỏi mất bao nhiêu phút kể từ khi bánh xe đu bắt đầu hoạt động thì người này đạt độ cao 6(m) so với mặt đất lần thứ 6?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC và điểm N thay đổi trên đoạn thẳng AC sao cho $\frac{NC}{NA}=x(x>0,x\ne 1)$. Giá trị của x bằng bao nhiêu thì đường thẳng NG song song với mặt phẳng (SCD)?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$, các cạnh bên $SA=SB=SC=a$. Giá trị $\cos \left(SD,AB\right)$ bằng bao nhiêu?

Giải phương trình $\sqrt{2}\tan 2x=\frac{2\sin x+\sqrt{2}\cos x-1}{\cos 2x}$.

Cho tam giác ABC đều cạnh 4 và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Các điểm M và N thay đổi trên Δ sao cho ΔMHN vuông tại H.

a) Chứng minh đường thẳng MH vuông góc với mặt phẳng (NBC).

b) Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN.

c) Gọi K là điểm thay đổi trên đoạn thẳng AH (K ≠ A, K ≠ H). Gọi $K_1,K_2,K_3,K_4$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm K lên các mặt phẳng (NBC), (MBC), (MNC), (MNB). Chứng minh $K{K}_1^2+K{K}_2^2+K{K}_3^2+K{K}_4^2\ge 4$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_n=\frac{u_{n-1}}{(n-1)u_{n-1}+1},n=2,3,4\dots \end{array}$$

a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

b) Chứng minh $\frac{u_2}{2-u_2}+\frac{u_3}{2-u_3}+\dots +\frac{u_{2026}}{2-u_{2026}}<1$.