Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_n=\frac{u_{n-1}}{(n-1)u_{n-1}+1},n=2,3,4\dots \end{array}$$

a) Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

b) Chứng minh $\frac{u_2}{2-u_2}+\frac{u_3}{2-u_3}+\dots +\frac{u_{2026}}{2-u_{2026}}<1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức truy hồi $u_n=\frac{u_{n-1}}{(n-1)u_{n-1}+1}$, vì $u_1=2>0$ nên quy nạp $u_n>0$ với mọi $n$, do đó có thể lấy nghịch đảo: $$\frac{1}{u_n}=\frac{(n-1)u_{n-1}+1}{u_{n-1}}=(n-1)+\frac{1}{u_{n-1}}.$$ Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$, ta có $v_n=v_{n-1}+(n-1)$ với $v_1=\frac{1}{2}$. Cộng các đẳng thức từ $2$ đến $n$: $$v_n=\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n+1}{2}.$$ Vậy công thức số hạng tổng quát là $$u_n=\frac{2}{n^2-n+1}.$$

**a) Chứng minh dãy giảm:** Với mọi $n\ge 1$, $u_n=\frac{2}{n^2-n+1}>0$. Xét hiệu $$u_{n+1}-u_n=\frac{2}{(n+1{)}^2-(n+1)+1}-\frac{2}{n^2-n+1}=\frac{2}{n^2+n+1}-\frac{2}{n^2-n+1}.$$ Vì $n^2+n+1>n^2-n+1>0$ nên $u_{n+1}-u_n<0$, tức $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy $(u_n)$ là dãy giảm. (Kiểm tra: $u_1=2$, $u_2=\frac{2}{3}$, $u_3=\frac{2}{7},\dots$ thỏa mãn.)

**b) Chứng minh bất đẳng thức:** Với $n\ge 2$, ta có $$\frac{u_n}{2-u_n}=\frac{\frac{2}{n^2-n+1}}{2-\frac{2}{n^2-n+1}}=\frac{2}{2(n^2-n+1)-2}=\frac{1}{n^2-n}=\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.$$ Do đó tổng là tổng dạng telescoping: $$\sum _{n=2}^{2026}\frac{u_n}{2-u_n}=\sum _{n=2}^{2026}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}<1.$$ Vậy $\frac{u_2}{2-u_2}+\frac{u_3}{2-u_3}+\dots +\frac{u_{2026}}{2-u_{2026}}=\frac{2025}{2026}<1$. Đpcm.