Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC và điểm N thay đổi trên đoạn thẳng AC sao cho $\frac{NC}{NA}=x(x>0,x\ne 1)$. Giá trị của x bằng bao nhiêu thì đường thẳng NG song song với mặt phẳng (SCD)?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{AS}=\vec{s}$; đáy là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$. Trọng tâm tam giác $SBC$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{\vec{s}+2\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Vì $\frac{NC}{NA}=x$ nên $\frac{AN}{AC}=\frac{1}{1+x}$, tức $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{1+x}$. Suy ra $\overrightarrow{NG}=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{1+x}\right)\vec{s}+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{1+x}\right)\vec{b}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{1+x}\right)\vec{d}$. Mặt phẳng $(SCD)$ sinh bởi $\overrightarrow{SC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{s}$ và $\overrightarrow{SD}=\vec{d}-\vec{s}$, nên $\overrightarrow{NG}\parallel (SCD)$ đòi hỏi tồn tại $\alpha ,\beta$ sao cho $\overrightarrow{NG}=\alpha \overrightarrow{SC}+\beta \overrightarrow{SD}=\alpha \vec{b}+(\alpha +\beta )\vec{d}-(\alpha +\beta )\vec{s}$. So sánh hệ số $\vec{s}$ và $\vec{d}$: $\frac{1}{3}-\frac{1}{1+x}=-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{1+x}\right)\Rightarrow \frac{2}{1+x}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=2$. Kiểm tra: với $x=2$, $\overrightarrow{NG}=\frac{1}{3}\vec{b}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SD})\in (SCD)$, tức $NG\parallel AB\parallel CD\subset (SCD)$, thỏa mãn $x>0,x\ne 1$. Vậy $x=2$. Nguồn (đề thi) không cung cấp đáp án chính thức cho câu này; kết quả $x=2$ được kiểm chứng độc lập bằng phương pháp tọa độ hóa vectơ.