Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD$, $AD=2BC$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho $MD=2MS$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $OM$ song song với mặt phẳng

Cho tứ diện $ABCD$ có $G$ là trọng tâm của $\Delta ABD$ và $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB=x.MC$. Tìm $x$ để đường thẳng $MG$ song song với mặt phẳng $(ACD)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $A,M$ và song song với $SD$, $(\alpha )$ cắt $SB$ tại $N$. Tính tỉ số $\frac{SN}{BN}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $B;C$ và $AB=BC=2CD=2$; tam giác $SAB$ và $SBC$ đều. Lấy điểm $E,F$ lần lượt thuộc cạnh $SA;SC$ sao cho $\frac{SE}{SA}=\frac{SF}{SC}=\frac{2}{3}$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AC$ và song song với mặt phẳng $(DEF)$ cắt đường thẳng $SB$ tại điểm $K$. Tính diện tích tam giác $KAC$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $B;C$ và $AB=BC=2CD=4$; tam giác $SAB$ và $SBC$ đều. Lấy điểm $E,F$ lần lượt thuộc cạnh $SA;SC$ sao cho $\frac{SE}{SA}=\frac{SF}{SC}=\frac{2}{3}$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AC$ và song song với mặt phẳng $(DEF)$ cắt đường thẳng $SB$ tại điểm $K$. Tính diện tích tam giác $KAC$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $H$ là một điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $AB=x.AH$ với số thực $x>0$. Hỏi giá trị của số thực $x$ bằng bao nhiêu để đường thẳng $GH$ song song với mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $\widehat{ABC}=60°$, $AB=4a$, $SA=3a$, hai mặt bên $SAB$ và $SAD$ là các tam giác vuông tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $SE=\frac{1}{3}SC$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $M$ đồng thời song song với hai đường thẳng $SO$, $DE$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các cạnh $SA$, $AD$ lần lượt tại $N$, $P$. Tính diện tích tam giác $MNP$ theo $a$.