Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 9cm, góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $45^{\circ }$. Hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $HA=2HB$. Các mệnh đề sau đúng hay sai:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(9;0;0)$, $C(\frac{9}{2};\frac{9\sqrt{3}}{2};0)$. Vì $HA=2HB$ nên $H(6;0;0)$. Tính $HC=\sqrt{(6-4,5{)}^2+(\frac{9\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{243}{4}}=3\sqrt{7}$. Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCH}=45^{\circ }$ nên $SH=HC=3\sqrt{7}$, tức $S(6;0;3\sqrt{7})$.

a) $\overrightarrow{SA}=(-6;0;-3\sqrt{7})$, $\overrightarrow{BC}=(-\frac{9}{2};\frac{9\sqrt{3}}{2};0)$, $\overrightarrow{SB}=(3;0;-3\sqrt{7})$. $\vec{n}=\overrightarrow{SA}\times \overrightarrow{BC}=(\frac{27\sqrt{21}}{2};\frac{27\sqrt{7}}{2};-27\sqrt{3})$, $|\vec{n}|=27\sqrt{10}$. $\overrightarrow{SB}\cdot \vec{n}=\frac{81\sqrt{21}}{2}+81\sqrt{21}=\frac{243\sqrt{21}}{2}$. Khoảng cách giữa $SA$ và $BC$: $d=\frac{243\sqrt{21}/2}{27\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{210}}{20}\approx 6,52$ cm $\ne \frac{3\sqrt{210}}{10}$ → sai.

b) $S_{ABC}=\frac{9^2\sqrt{3}}{4}=\frac{81\sqrt{3}}{4}$, $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{81\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{7}=\frac{81\sqrt{21}}{4}$ cm³ → đúng.

c) $\overrightarrow{SB}=(3;0;-3\sqrt{7})$, $\overrightarrow{SC}=(-\frac{3}{2};\frac{9\sqrt{3}}{2};-3\sqrt{7})$, $\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(\frac{27\sqrt{21}}{2};\frac{27\sqrt{7}}{2};\frac{27\sqrt{3}}{2})$, $|\vec{n}|=\frac{27\sqrt{31}}{2}$. Lấy $\overrightarrow{BH}=(-3;0;0)$: $|\overrightarrow{BH}\cdot \vec{n}|=\frac{81\sqrt{21}}{2}$. $d(H,(SBC))=\frac{81\sqrt{21}/2}{27\sqrt{31}/2}=\frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{31}}=\frac{3\sqrt{651}}{31}$ cm → đúng.

d) Vì $H\in AB$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(ABC)$ là $AB$. Vì $SH\perp (ABC)$ nên $SH\perp AB$, suy ra $SH\perp HA$. Góc giữa $(SAB)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SHA}=90^{\circ }$, không phải $45^{\circ }$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức thể tích song diện: $d(SA,BC)=\frac{|\overrightarrow{SB}\cdot (\overrightarrow{SA}\times \overrightarrow{BC})|}{|\overrightarrow{SA}\times \overrightarrow{BC}|}=\frac{9\sqrt{210}}{20}\approx 6,52$ cm, khác $\frac{3\sqrt{210}}{10}$ nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SH=HC=3\sqrt{7}$, $S_{ABC}=\frac{81\sqrt{3}}{4}$, $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{81\sqrt{3}}{4}\cdot 3\sqrt{7}=\frac{81\sqrt{21}}{4}$ cm³ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $S(6;0;3\sqrt{7})$, pháp tuyến của $(SBC)$ có độ dài $\frac{27\sqrt{31}}{2}$, tính được $d(H,(SBC))=\frac{3\sqrt{651}}{31}$ cm → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(ABC)$ là $AB$. Vì $SH\perp (ABC)$ nên $SH\perp AB$, do đó góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{SHA}=90^{\circ }$, không phải $45^{\circ }$ → mệnh đề sai.