Xét các số thực $x\ne 0,y>0$ thỏa mãn ${\log }_2\frac{y}{2x^2}+y^2=x^4-1$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của số thực $z$ để với mỗi $z$ có đúng 3 cặp số $(x,y)$ phân biệt thỏa mãn hệ thức $\frac{z}{4}\left(2^{y-2x}+2^{-y+4x}\right)=\frac{z^2}{16}+2^{2x}$. Tổng tất cả các phần tử trong $S$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện đầu: đặt $t=x^2>0$, phương trình ${\log }_2\frac{y}{2t}+y^2=t^2-1$ tương đương $y^2+{\log }_{2}y=t^2+{\log }_{2}t$. Vì $f(u)=u^2+{\log }_{2}u$ đồng biến trên $(0,\infty )$ nên $y=x^2$. Với $y=x^2$, đặt $a=2^{x^2-2x}$, $b=2^{-x^2+4x}$ thì $ab=2^{2x}$. Hệ thức thứ hai nhân 16: $z^2-4z(a+b)+16ab=0\iff (z-4a)(z-4b)=0$, tức $z=4\cdot 2^{x^2-2x}$ hoặc $z=4\cdot 2^{-x^2+4x}$. Đặt $s={\log }_2\frac{z}{4}$. Phương trình $x^2-2x=s$ có nghiệm $x=1\pm \sqrt{1+s}$ (loại $x=0$ khi $s=0$): cho 2 nghiệm khi $s>-1,s\ne 0$; 1 nghiệm khi $s=-1$ hoặc $s=0$. Phương trình $-x^2+4x=s$ có nghiệm $x=2\pm \sqrt{4-s}$ (loại $x=0$ khi $s=0$): cho 2 nghiệm khi $s<4,s\ne 0$; 1 nghiệm khi $s=4$; 0 nghiệm khi $s>4$. Đếm số cặp $(x,y)=(x,x^2)$, $x\ne 0$, chú ý tại $x=3$ (tức $s=3$, $z=32$) hai phương trình cho cùng một cặp nên chỉ đếm một lần:
- $s=-1$ ($z=2$): $1+2=3$ cặp → nhận.
- $-1<s<4$, $s\ne 0,3$: $2+2=4$ cặp → loại; $s=0$ ($z=4$): $1+1=2$ → loại.
- $s=3$ ($z=32$): $2+2-1=3$ cặp → nhận.
- $s=4$ ($z=64$): $2+1=3$ cặp → nhận.
- $s>4$ hoặc $s<-1$: 2 cặp → loại.
Vậy $S=\{2;32;64\}$, tổng các phần tử là $2+32+64=98$.