Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${\log }_2\frac{3x+3m+1}{2x^2+x}=x^2-5x+2-m$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $(x-1)\log (e^{-x}+m+2023)=x-2$ có hai nghiệm thực phân biệt?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\log (x^2-2x-m+1)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$?

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để có đúng $4$ bộ số thực $(x;y)$ thỏa mãn $2$ điều kiện sau: $\{\begin{array}{l}{\log }_3^2(26x+53)\cdot {\log }_3\frac{x^2+y^2+2x+4y+5}{729}+8{\log }_{3}m=0.\\ (x-12{)}^2+(y+2{)}^2=196.\end{array}$ Tính số phần tử của tập $S$?

Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để phương trình $(m+20{)}^x\cdot m^{x^2-3}=1$ có nghiệm lớn hơn $1$?

Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ nhỏ hơn $500$ sao cho ứng với mỗi $y$ tồn tại ít nhất $9$ số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $x^4+2x^2-y+1\le {\log }_2\frac{\sqrt{2y+1}}{x^2+1}$?

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình ${\log }_2^{2}x-(m+1){\log }_{2}x+2m-3=0$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(2;16)$?