Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{2}$. Biết rằng mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $2\sqrt{2}$ và cắt mặt phẳng $(Oxz)$ theo một đường tròn có bán kính bằng $2$. Tìm tọa độ tâm $I$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-3{)}^2=8$ và hai điểm $A(4;-4;3)$, $B(1;-1;7)$. Gọi $(C_1)$ là tập hợp các điểm $M\in (S)$ sao cho biểu thức $MA-2MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết $(C_1)$ là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-10;6;-2)$, $B(-5;10;-9)$ và mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y-z+12=0$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc $(\alpha )$ sao cho $MA,MB$ tạo với $(\alpha )$ các góc bằng nhau và biểu thức $T=2M{A}^2-M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;0;2)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z+4=0$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;2)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$. Mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo đường tròn $(C)$ có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $2x+y-z-1=0$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=4$. Xác định bán kính $r$ của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ và mặt cầu $(S)$?

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=25$ tâm $I$ và điểm $A(2;2;1)$. Xét các điểm $B,C,D$ thay đổi thuộc $(S)$ sao cho $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc nhau. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(BCD)$ có giá trị lớn nhất bằng $\frac{m}{n}$ (với $m,n$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản). Tích $m\cdot n$ bằng?