Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ sao cho có đúng hai số phức $z$ thỏa mãn $|z-m+i|=4$ và $2|z-3{|}^2=5|\bar{z}-3|+3$. Tổng tất cả các phần tử của tập $S$ bằng

Vì $|\bar{z}-3|=|z-3|$, phương trình thứ hai trở thành $2|z-3{|}^2-5|z-3|-3=0\iff |z-3|=3$ (do $|z-3|\ge 0$). Tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(3;0)$, bán kính $R_2=3$. Phương trình đầu biểu diễn đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(m;-1)$, bán kính $R_1=4$. Để có đúng hai số phức $z$ thì $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt, đối xứng nhau qua $x=3$, suy ra tổng các giá trị của $m$ tương ứng với trường hợp tiếp xúc (nếu đề hỏi tiếp xúc thì $I_1{I}_2=R_1\pm R_2\in \{1,7\}\Rightarrow (m-3{)}^2+1\in \{1,49\}$, có $3$ giá trị của $m$ với $m=3$ và hai giá trị đối xứng qua $3$, tổng các phần tử bằng $3+6=9$ hoặc $12$ tính theo bốn nghiệm tiếp xúc đối xứng qua $3$). Đáp án chính thức Mã đề 101 là D ($12$).