Biết ${\int }_1^2\frac{x+3}{x^2+2x+1}dx=a\ln 2+b\ln 3+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$. Tính $P=a+2b+c$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $x^{2}f(x^5)+xf(1-x^4)=-3x^4+x+3,\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{1}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số bậc bốn $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$) và hàm số bậc ba $g(x)=m{x}^3+n{x}^2+px+q$ ($m,n,p,q\in \mathbb{R}$) có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên dưới.



Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng 96 và $f(2)=g(2)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=g(x)$ và $x=0$, $x=2$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;8]$ và thỏa mãn ${\int }_1^2[f(x^3){]}^{2}dx+2{\int }_1^{2}f(x^3)dx-\frac{4}{3}{\int }_1^{8}f(x)dx=-\frac{247}{15}$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[1;8]$. Tích phân ${\int }_1^{8}x{F}^{\prime }(x)dx$ bằng

Nếu ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=5$ thì ${\int }_1^3[f(x)+2x]\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x=9$ và ${\int }_2^{5}g(x)\mathrm{d}x=6$ thì ${\int }_2^5[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^2-2$ và $y=3x-2$ bằng