Nếu ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=5$ thì ${\int }_1^3[f(x)+2x]\mathrm{d}x$ bằng

Tích phân $I={\int }_0^1\frac{1}{x+1}dx$ có giá trị bằng

Tính diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-x$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=-12;x=12$?

Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_3^{5}f(x)dx=a$, $(a\in \mathbb{R})$. Tích phân $I={\int }_1^{2}f(2x+1)dx$ có giá trị bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên đoạn $[1;2]$. $f(x)\ne 0$ với mọi $x\in [1;2]$, đồng thời $f^{\prime }(x)(1-f(x){)}^2={\left[(f(x){)}^2(x+1)\right]}^2$ và $f(1)=-1$. Biết rằng ${\int }_1^2(x-1)f(x)dx=\ln a+b$ ($a,b\in \mathbb{Z}$), tính tổng $S=a+b^2$?

Cho hàm đa thức bậc ba $y=f(x)$ và hàm số $y=g(x)$ với đồ thị là Parabol đỉnh $I$ như hình vẽ dưới đây. Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thoả mãn $x_1{x}_2{x}_3=12$. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x);y=g(x);x=1;x=3$ gần số nào nhất trong các số sau đây?

Cho $a$ là số thực dương, giá trị tích phân ${\int }_0^a(x^2-x)dx$ là