Kí hiệu $S$ là tập tất cả số nguyên $m$ sao cho phương trình $3^{x^2+mx+1}=(3+mx)\cdot 3^{9x}$ có nghiệm thuộc khoảng $(1;9)$. Tập $S$ có bao nhiêu phần tử?

$3^{x^2+mx+1}=(3+mx)\cdot 3^{9x}\iff 3^{x^2+mx+1-9x}-(3+mx)=0(1)$
Để phương trình có nghiệm $3+mx>0$ (do $3^{x^2+mx+1-9x}>0,\forall x\in \mathbb{R}$)
Khi đó, $3+mx>0\iff m>\frac{-3}{x}\iff m>-3$ (do $1<x<9$)
Xét hàm số $f(x)=3^{x^2+mx+1-9x}-(3+mx)$
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\ln 3.(2x+m-9)3^{x^2+mx+1-9x}-m$
Đạo hàm cấp 2: $f^{\prime \prime }(x)=\ln \mathrm{3.2.}{3}^{x^2+mx+1-9x}+{\left(\ln 3.(2x+m-9)\right)}^2{3}^{x^2+mx+1-9x}>0$
Do đó $f^{\prime }(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f^{\prime }(x)=0$ có nhiều nhất một nghiệm $\Rightarrow f(x)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.
Mặt khác $x=0$ là một nghiệm của phương trình $(1)$ nên để phương trình này có nghiệm $x\in (1;9)$ thì $(1)$ phải có đúng một nghiệm $x\in (1;9)$
$\Rightarrow f(1).f(9)<0\iff \left(3^{m-7}-3-m\right)\left(3^{1+m}-3-9m\right)<0$
Giải ra ta được $m\in \{-2;-1;1;...;9\}$ có 11 giá trị.