Chọn ngẫu nhiên 3 số $a,b,c$ trong tập hợp $S=\{1;2;...;26\}$. Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=m+n$.

Gọi $A$ là tập hợp các phần tử thuộc $S$ mà chia hết cho 5, $A$ có 5 phần tử.
$B$ là tập hợp các phần tử thuộc $S$ mà chia cho 5 dư 1 hoặc dư 4, $B$ có 11 phần tử.
$C$ là tập hợp các phần tử thuộc $S$ mà chia cho 5 dư 2 hoặc dư 3, $B$ có 10 phần tử.
Ta có nhận xét
+ Với $k\in A$ thì $k^2$ chia hết cho 5.
+ Với $k\in B$ thì $k^2$ chia cho 5 dư 1.
+ Với $k\in C$ thì $k^2$ chia cho 5 dư 4.
Số phần tử của không gian mẫu là $C_{26}^3$.
Để chọn được 3 số thỏa mãn bài toán, ta có hai trường hợp
+ Trường hợp: 3 số được chọn đều thuộc $A$, có $C_5^3$ cách chọn.
+ Trường hợp: 3 số được chọn có mỗi số thuộc mỗi tập $A,B,C$, có $C_5^1\cdot C_{11}^1\cdot C_{10}^1$ cách chọn.
Suy ra số phần tử của biến cố là $C_5^3+C_5^1\cdot C_{11}^1\cdot C_{10}^1$.
Xác suất của biến cố là $\frac{C_5^3+C_5^1\cdot C_{10}^1\cdot C_{11}^1}{C_{26}^3}=\frac{14}{65}=\frac{m}{n}$. Suy ra $m+n=79$.