Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6m$, $AE=5m$; $AD=8m$; $QT=7m$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2m$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó:

a) Sai: Khi $QT=7m$ thì $z_Q=7\ne 5$ (mâu thuẫn).
b) Sai: $OD=8-2=6m\to D(-6;0;0)$; $K(0;0;5)\to E(-2;0;5)$; $Q(-6;3;7)$, $G(-6;6;5)$. $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{EQ};\vec{i}\right]=(0;2;-3)$, $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{QG};\vec{i}\right]=(0;-2;-3)$. $\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{5}{13}\to \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)\approx 67,3$ độ.
c) Đúng: $V_1=8.\frac{1}{2}.2.6=48\left(m^3\right)$; $V_2=AB.AD.AE=240\left(m^3\right)$; $V_1+V_2=288\left(m^3\right)$.
d) Sai: Trải phẳng 2 lần, với $M$ trung điểm $FG$: $M_1\left(-2;0;5+2\sqrt{13}\right)$ và $M_2\left(-2;11;0\right)$. Quãng đường ngắn nhất cần tìm là $\min \left\{O{M}_1;O{M}_2\right\}=5\sqrt{5}$ (m), không phải $5+2\sqrt{10}$ m.
a) Sai: Ta dễ thấy khi $QT=7m$ thì $z_Q=7\ne 5$ (mâu thuẫn).
b) Sai: Từ hình vẽ ta suy ra $OD=AD-OA=8-2=6m\to D(-6;0;0)$. Tiếp đến $K\in Oz$ và $AE=5m$ nên suy ra $K(0;0;5)\to E(-2;0;5)$. Tại điểm $Q,G$ ta có $x_G=x_Q=x_T=x_D=-6$ và $y_G=y_C=\overline{CD}=\overline{AB}=6$. Do $T$ là trung điểm của $DC$ nên $DT=\frac{DC}{2}\to y_Q=y_T=\frac{y_C}{2}=\frac{\overline{CD}}{2}=\frac{\overline{AB}}{2}=3\to Q(-6;3;7)$. Mà $\overrightarrow{HE}\parallel Ox$ (với $\vec{i}=(1;0;0)$) nên suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng $(EHQP)$ là $\overrightarrow{n_1}$ trong đó $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{EQ};\vec{i}\right]=(0;2;-3)$. Tiếp đến ta có: $z_G=z_E=5$ nên $G(-6;6;5)$ nên suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng $(FGQP)$ là $\overrightarrow{n_2}$ trong đó $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{QG};\vec{i}\right]=(0;-2;-3)$. Suy ra góc giữa hai mái nhà có cosin là $$\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{5}{13}\to \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)\approx 67,3\text{ (độ)}$$
c) Đúng: Thể tích khối lăng trụ $EFP.HGQ$ là $V_1=AD.\frac{1}{2}\left|z_Q-z_H\right|.AB=8.\frac{1}{2}.\left|7-5\right|.6=48\left(m^3\right)$. Thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ là $V_2=AB.AD.AE=240\left(m^3\right)$. Suy ra thể tích toàn bộ căn nhà này bằng: $V_1+V_2=288\left(m^3\right)$.
d) Sai: Ta cần trải phẳng 2 lần như sau: Lần 1: Trải 2 mặt phẳng $(EHQP)$ và $(FGQP)$ sao cho đồng phẳng liên tiếp với $(ADHE)$. Lần 2: Trải mặt phẳng $(BCGF)$ sao cho đồng phẳng với $(ABCD)$. Từ đây ta có hình vẽ như sau: (gọi $M$ là trung điểm $FG$)

Ta có $x_{M_1}=x_{M_2}=\frac{x_D}{2}+1=-2$; $\{\begin{array}{l}{y}_{M_1}=0\\ y_{M_2}=y_B+\overline{B{F}_2}=\overline{AB}+\overline{BF}=6+5=11\end{array}$
Do $d(P;EF)=\left|z_Q-z_H\right|=7-5=2$
Nên tiếp đến ta có: $\{\begin{array}{l}{z}_{M_1}=z_K+\overline{E{P}_1}+\overline{P_1{F}_1}=5+2EP=5+2\sqrt{2^2+3^2}=5+2\sqrt{13}\\ z_{M_2}=0\end{array}$
Suy ra: $M_1\left(-2;0;5+2\sqrt{13}\right)$ và $M_2\left(-2;11;0\right)$
Khi ấy quãng đường ngắn nhất cần tìm là $\min \left\{O{M}_1;O{M}_2\right\}=\left\{\sqrt{81+20\sqrt{13}};5\sqrt{5}\right\}=5\sqrt{5}$ (m)