Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ và đặt lên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông (như hình vẽ bên). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho
$A^{\prime }(0;0;0),A(0;0;1),B(0;0,5;1)$. Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là $60cm$ để lắp ráp lại thành khối chóp nói trên. Khi đó, tọa độ điểm $S$ là $(a;b;c)$. Tính giá trị của $a+b+c$. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

——- HẾT——-

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(1;3;-2)$; $B(-1;-1;0)$; $C(3;1;-1)$; $D(0;2;-2)$. Xét điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$. Khi $f=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+3\left|\overrightarrow{MD}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm $M$ có tọa độ là $(a;b;c)$. Giá trị của biểu thức $T=a+b-c$ bằng bao nhiêu?

Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao 105 m. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 450 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ là hướng tây, trục $Oy$ là hướng nam và trục $Oz$ là trục thẳng đứng như hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục là kilômét).



Một máy bay đang ở vị trí $A$ cách mặt đất 8 km, cách 268 km về phía đông, 185 km về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(82;76;0)$ hướng về đài kiểm soát không lưu. Tìm khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi hai điểm $E$ và $A^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD$ và tam giác $ACD$. Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BE$. Tính tỉ số $\frac{GA}{G{A}^{\prime }}$.

Một căn nhà lắp ghép có dạng hình chóp cụt $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$; Nền nhà là hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=10\left(m\right)$, chiều rộng $AD=6\left(m\right)$. Giả sử căn nhà được gắn trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A$ trùng với gốc tọa độ, $B$ thuộc tia $Ox$, $D$ thuộc tia $Oy$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là mét). Biết tọa độ điểm $A_1(8;8;6)$. Chủ nhà gắn một mắt Camera trên bức vách $AD{D}_1{A}_1$. Hỏi Camera cách điểm $C$ một khoảng ngắn nhất là bao nhiêu mét (Bỏ qua độ dày của Camera)?

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $SA=AB=4\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$.

Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ được gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O$ là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục $Oz$ trùng với cột trụ, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước và xem như trục $Oy$ cùng phương với cầu như hình vẽ. Dây cáp $AD$ (được xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh $D$ thuộc trục $Oz$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $Oyz$, biết rằng điểm $D$ là đỉnh cột trụ cách mặt nước $227m$, điểm $A$ cách mặt nước $75m$ và cách trục $Oz$ $343m$, biết rằng 1 đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với $1m$ trên thực tế.