Một căn nhà lắp ghép có dạng hình chóp cụt $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$; Nền nhà là hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=10\left(m\right)$, chiều rộng $AD=6\left(m\right)$. Giả sử căn nhà được gắn trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A$ trùng với gốc tọa độ, $B$ thuộc tia $Ox$, $D$ thuộc tia $Oy$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là mét). Biết tọa độ điểm $A_1(8;8;6)$. Chủ nhà gắn một mắt Camera trên bức vách $AD{D}_1{A}_1$. Hỏi Camera cách điểm $C$ một khoảng ngắn nhất là bao nhiêu mét (Bỏ qua độ dày của Camera)?

(AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(10;0;0), D(0;6;0), C(10;6;0). Vì mặt trên song song mặt dưới nên A1B1 // AB, A1D1 // AD với cùng độ dài, suy ra B1(18;8;6), D1(8;14;6), C1(18;14;6). Điểm P trên vách ADD1A1 có dạng P = A + s·AD + t·AA1 = (8t; 6s+8t; 6t), s,t ∈ [0;1]. Khoảng cách đến C: f = (8t−10)² + (6s+8t−6)² + 36t². Đạo hàm theo s cho 6s+8t=6 ⇒ s = 1 − 4t/3; tại t cho f nhỏ nhất (t = 0,8) ta được s < 0 nên cực tiểu nằm trên biên s = 0, tức cạnh AA1: P = (8t; 8t; 6t). Khi đó f(t) = (8t−10)² + (8t−6)² + 36t², f'(t) = 16(8t−10) + 16(8t−6) + 72t = 328t − 256 = 0 ⇒ t = 32/41 ∈ [0;1]. Kiểm tra biên: t=0 (điểm A, AC = √136 ≈ 11,66), t=1 (điểm A1, ≈ 6,63); cũng xét biên s=1 (cạnh DD1) cho giá trị lớn hơn. Vậy min tại t = 32/41: f = (154² + 10² + 192²)/41² = 60680/1681, khoảng cách ngắn nhất = √60680/41 = 2√15170/41 ≈ 6,01 m.