Cho tích phân $$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin x\mathrm{d}x=\frac{a+b\sqrt{2}}{c}$$ với $a,b\in \mathbb{Z}$, $c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, các phân số $\frac{a}{c},\frac{b}{c}$ tối giản. Tính tổng $S=a+2b-c$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x=0,x=\pi$, đồ thị hàm số $y=\cos x$ và trục $Ox$ là

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=3$, $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-2$, khi đó $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ có giá trị bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[1;3]$. $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[1;3]$ thỏa mãn $F(3)=6$ và $F(1)=2$.

Một công ty thiết kế nội thất sản xuất mẫu gạch men cao cấp dạng hình vuông $OABC$ cạnh $1m$ để lát sảnh trung tâm thương mại. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O(0;0)$, $A(0;1)$, $B(1;1)$, $C(1;0)$. Mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng $1m$. Để tạo điểm nhấn nghệ thuật, trên bề mặt viên gạch người ta in hai đường cong lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$. Phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ được phủ lớp men màu đậm tạo họa tiết trang trí như hình vẽ minh họa.

Lô gô gắn tại các Showroom của hãng ô tô **VINFAST** là một hình tròn như hình vẽ bên.



Phần tô đậm nằm giữa parabol đỉnh $I$ và đường gấp khúc $AJB$ được dát bạc với chi phí 9 triệu đồng trên một mét vuông. Phần còn lại được phủ sơn với chi phí 1,5 triệu đồng trên một mét vuông. Biết $AB=2m$, $IA=IB=\sqrt{5}m$ và $JA=JB=\frac{\sqrt{13}}{2}m$. Tính tổng số tiền (triệu đồng) để dát bạc và phủ sơn của lô gô nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Khẳng định nào sau đây là **sai**?