Một công ty thiết kế nội thất sản xuất mẫu gạch men cao cấp dạng hình vuông $OABC$ cạnh $1m$ để lát sảnh trung tâm thương mại. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O(0;0)$, $A(0;1)$, $B(1;1)$, $C(1;0)$. Mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng $1m$. Để tạo điểm nhấn nghệ thuật, trên bề mặt viên gạch người ta in hai đường cong lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$. Phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ được phủ lớp men màu đậm tạo họa tiết trang trí như hình vẽ minh họa.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;1] ta có x^{1/3} ≥ x³ (vì x^{1/3} - x³ = x^{1/3}(1 - x^{8/3}) ≥ 0).

a) Diện tích phủ men: S = ∫₀¹ (x^{1/3} - x³) dx = [3/4·x^{4/3} - 1/4·x⁴]₀¹ = 3/4 - 1/4 = 1/2 (m²), không phải 1/4 (m²). → Sai.

b) Diện tích giới hạn bởi y = x³, trục Ox, x = 0 và x = 1: S = ∫₀¹ x³ dx = 1/4 (m²), không phải π/4 (m²). → Sai.

c) Khối tròn xoay quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi y = ∛x, Ox, Oy và x = 1 có thể tích V = π∫₀¹ (∛x)² dx. → Đúng.

d) Vì x^{1/3} ≥ x³ trên [0;1] nên S = ∫₀¹ (∛x - x³) dx. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀¹(∛x - x³)dx = 3/4 - 1/4 = 1/2 (m²) ≠ 1/4 (m²).
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀¹ x³ dx = 1/4 (m²) ≠ π/4 (m²).
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức thể tích khối tròn xoay quanh Ox: V = π∫₀¹(∛x)² dx đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] có ∛x ≥ x³ nên S = ∫₀¹(∛x - x³)dx đúng.