Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(2;1;-3)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z+3=0$.

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(2;-1;3)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-2z+3=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-2y+z-5=0$ và điểm $A(2;-1;3)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $O,A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình dạng $5x+by+cz=0$. Tính giá trị của $bc$.

Trong một quảng trường, người ta gắn hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ (Mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng $1m$) để mô phỏng vị trí các công trình. Mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất của quảng trường, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên. Hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí $A(1;2;-1)$ và $B(-2;1;0)$. Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình $(P):x-2y+z+4=0$. Gọi tọa độ điểm đặt trụ đèn là $M(a;b;c)$. Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm $A$ và $B$ sao cho $MA=MB=\frac{\sqrt{11}}{2}$ (tham khảo hình vẽ dưới).



Tính giá trị của $2(a+b+c)$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z+1=0$ đi qua điểm nào dưới đây?

Trong hoạt động quay phim và chụp ảnh chuyên nghiệp, tấm hắt sáng là một công cụ không thể thiếu. Một ê-kíp nhận dự án chụp hình cho một căn hộ phục vụ cho mục đích quảng quáng. Tấm hắt sáng được đặt trên một bề mặt gỗ mỏng hình tam giác, mỗi đỉnh của mặt gỗ đặt trên một chiếc cọc lần lượt cao 2m, 1m và 0,5m. Cọc cao nhất đặt ở góc tường, cọc cao 1m sẽ đặt ở tường sau nhà, cách tường trái 2m, cọc còn lại đặt ở tường bên trái, cách tường sau 1m. Để đảm bảo sự chắc chắn, người ta chống một chiếc cọc vuông góc mặt đất và đỡ phía dưới mặt gỗ, cách mỗi bức tường 0,5m (chân cọc chống đỡ ở mặt đất).



Hỏi chiếc cọc chống đỡ này có chiều dài bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(3;2;-1\right)$, $B\left(1;-2;0\right),C\left(2;1;-1\right)$ và mặt phẳng $(P):2x-3y+z-1=0$. Khi đó mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?