Một công ty thiết kế nội thất sản xuất mẫu gạch men cao cấp dạng hình vuông $OABC$ cạnh $1m$ để lát sảnh trung tâm thương mại. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O(0;0)$, $A(0;1)$, $B(1;1)$, $C(1;0)$. Mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng $1m$. Để tạo điểm nhấn nghệ thuật, trên bề mặt viên gạch người ta in hai đường cong lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$. Phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ được phủ lớp men màu đậm tạo họa tiết trang trí như hình vẽ minh họa.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;1] ta có x^{1/3} ≥ x³ (ví dụ x=1/4: √[3]{1/4}≈0,63 > 0,0156), nên diện tích phần gạch đậm là S = ∫₀¹(√[3]{x} − x³)dx = [3/4·x^{4/3} − x⁴/4]₀¹ = 3/4 − 1/4 = 1/2 (m²).
a) Sai: công thức trong đề lấy x³ − √[3]{x}, cho giá trị âm (−1/2), không phải diện tích.
b) Sai: diện tích đúng bằng 1/2 m², không phải 1/3 m².
c) Đúng: thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox là V = π∫₀¹(√[3]{x})²dx = π∫₀¹x^{2/3}dx = π·3/5 = 3π/5 (m³), công thức trong đề đúng.
d) Đúng: ∫₀¹x³dx = 1/4 (m²).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên [0;1] thì √[3]{x} ≥ x³ nên diện tích phải là ∫₀¹(√[3]{x} − x³)dx; công thức x³ − √[3]{x} cho giá trị âm.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) S = ∫₀¹(√[3]{x} − x³)dx = 3/4 − 1/4 = 1/2 (m²), không phải 1/3 m².
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) V = π∫₀¹(√[3]{x})²dx = π∫₀¹x^{2/3}dx = 3π/5 (m³); công thức đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ∫₀¹x³dx = 1/4 (m²).