Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)$, trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây **đúng**?

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$ $(a^2+b^2+c^2>0)$ bằng

Biết $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=3$ và $\underset{1}{\overset{2}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=2$, giá trị của $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z+1=0$ đi qua điểm nào dưới đây?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (hình vẽ minh họa). Vecto nào sau là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=3\cos x+\frac{1}{x^2}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên $R$. Mệnh đề nào sau đây **sai**?

Một công ty thiết kế nội thất sản xuất mẫu gạch men cao cấp dạng hình vuông $OABC$ cạnh $1m$ để lát sảnh trung tâm thương mại. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O(0;0)$, $A(0;1)$, $B(1;1)$, $C(1;0)$. Mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng $1m$. Để tạo điểm nhấn nghệ thuật, trên bề mặt viên gạch người ta in hai đường cong lần lượt là đồ thị của các hàm số $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$. Phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ được phủ lớp men màu đậm tạo họa tiết trang trí như hình vẽ minh họa.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[1;2\right]$. $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $\left[1;2\right]$ thỏa mãn $F(2)=5$ và $F(1)=2$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=2-5\sin x$ và $f(0)=10$.

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(2;-1;3)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-2z+3=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-2y+z-5=0$ và điểm $A(2;-1;3)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $O,A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình dạng $5x+by+cz=0$. Tính giá trị của $bc$.

Cho hàm số $f(x)=2x+e^x$. $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=2024$. Tính F(1) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lô gô gắn tại các Showroom của hãng ô tô VINFAST là một hình tròn như hình vẽ.



Phần tô đậm nằm giữa parabol đỉnh $I$ và đường gấp khúc $AJB$ được dát bạc với chi phí 10 triệu đồng trên một mét vuông. Phần còn lại được phủ sơn với chi phí 2 triệu đồng trên một mét vuông. Biết $AB=2m$, $IA=IB=\sqrt{5}m$ và $JA=JB=\frac{\sqrt{13}}{2}m$. Tính tổng số tiền (triệu đồng) để dát bạc và phủ sơn của lô gô nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một ô tô đang chạy với tốc độ $10(m/s)$ thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với $v(t)=-5t+10(m/s)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Tại một nhà máy, gọi $C(x)$ là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất $x$ tấn sản phẩm B trong một tháng. Khi đó, đạo hàm $C^{\prime }(x)$, gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $C^{\prime }(x)=8-0,13x+0,00022x^2$ với $0\le x\le 88$. Biết rằng $C(0)=24$ triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí (tính theo triệu đồng) khi nhà máy sản xuất 82 tấn sản phẩm B trong một tháng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong một quảng trường, người ta gắn hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ (Mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng $1m$) để mô phỏng vị trí các công trình. Mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất của quảng trường, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên. Hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí $A(1;2;-1)$ và $B(-2;1;0)$. Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình $(P):x-2y+z+4=0$. Gọi tọa độ điểm đặt trụ đèn là $M(a;b;c)$. Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm $A$ và $B$ sao cho $MA=MB=\frac{\sqrt{11}}{2}$ (tham khảo hình vẽ dưới).



Tính giá trị của $2(a+b+c)$.