Cho ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=2$, ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=4$, khi đó ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$ có giá trị bằng:

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x);y=f^{\prime }(x)$ có diện tích bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ thỏa mãn
$$\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left[f^2(x)-2f(x)(3-x)\right]\mathrm{d}x=-\frac{109}{12}.\text{Tıˊnh }\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{f(x)}{x^2-1}\mathrm{d}x.$$

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;5]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1;x=5$ được tính theo công thức nào sau đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\underset{1}{\overset{6}{\int }}f(x)\mathrm{dx}=9$, $\underset{4}{\overset{6}{\int }}f(x)\mathrm{dx}=-3$. Khi đó $\underset{1}{\overset{4}{\int }}f(x)\mathrm{dx}$ bằng

Cho hàm số $f(x)=3x+2$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$.