Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(-1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;1)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Độ dài đoạn thẳng $3OH$ bằng bao nhiêu?

(1,5 điểm) Trong tiết hoạt động thực hành và trải nghiệm môn Toán tại sân trường, cô giáo giao nhiệm vụ cho học sinh lớp 12A thực hành bài toán sau:
Hai khu vực bồn hoa được các cựu học sinh xây dựng tặng nhà trường có dạng như Hình 1, gồm có:
- Bồn hoa 1: Viền ngoài bồn hoa có dạng cung parabol;
- Bồn hoa 2: Có dạng hình tròn;
- Một hàng rào nhỏ được trang trí nối giữa hai bồn hoa.
Hãy đo khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai bồn hoa.
Sau khi thực nghiệm đo nhiều lần khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc hai bồn hoa, các bạn lớp 12A đã đo đạc và mô tả kích thước trong thực tế như Hình 2.

Hình 1

Hình 2
Với kích thước trong thực tế như Hình 2, em hãy giải bài toán sau để kiểm chứng kết quả thực nghiệm:
Bài toán. Xét điểm $M$ trên cung parabol $\widehat{AnB}$ và điểm $N$ trên đường tròn $(C)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MN$ nhỏ nhất. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ABCD$ tâm $O^{\prime }$ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $IA,IB,IC,ID$ gắn cố định tại điểm $I(0;0;9)$ như hình vẽ. Biết điểm $O^{\prime }(0;0;5)$, $A\left(-\sqrt{2};\sqrt{2};5\right)$, điểm $D(a;b;c)$ với $a>0,c>5$ và góc $\widehat{OID}$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ lần lượt là lực căng của dây $IB,IC,ID,IA$, biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=50N$ và $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=40N$.

Tính khối lượng $m(\text{kg})$ của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (cho gia tốc trọng trường $g=9,8m/s^2$ và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức $P=mg$).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ABCD$ tâm $O^{\prime }$ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $IA,IB,IC,ID$ gắn cố định tại điểm $I(0;0;9)$ như hình vẽ. Biết điểm $O^{\prime }(0;0;5)$, $A\left(-\sqrt{2};\sqrt{2};5\right)$, điểm $D(a;b;c)$ với $a>0,c>5$ và góc $\widehat{O^{\prime }ID}$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ lần lượt là lực căng của dây $IB,IC,ID,IA$, biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=50N$ và $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=40N$.

Tính khối lượng $m$ (kg) của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (cho gia tốc trọng trường $g=9,8m/s^2$ và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức $P=mg$).

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;3)$ và $B(2;-3;-5)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=25$ và $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm thuộc $(P)$ sao cho $MN=1$. Biết giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ có dạng $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ $(a,b,c\in \mathbb{N}$ và $c$ là số nguyên tố$)$. Tính $a+b+c$

Hình bên dưới minh họa một cái lều hai mái là hai hình chữ nhật giống nhau trong không gian $Oxyz$, với điểm $A$ nằm trên $Ox$, điểm $C$ nằm trên $Oy$. Biết các kích thước của mái lều là $SA=5m$, $AB=10m$, độ cao từ $S$ xuống mặt đất là $4m$. Bạn An muốn trang trí chiếc lều bằng cách treo các sợi dây cờ trang trí từ các góc lều $O,A,B,C$ đến đuôi một chiếc đèn treo từ vị trí chính giữa của $SQ$, cách $SQ$ $50cm$. Hỏi tổng chiều dài sợi dây cờ trang trí tối thiểu bạn An cần mua là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian với hệ tọa độ $(Oxyz)$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ và hai điểm $A(2;-1;0)$, $B(3\sqrt{3};0;-1)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(P)$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=-MA+7MB$ bằng $a\sqrt{b}(a,b\in \mathbb{N})$. Tính giá trị biểu thức $Q=3a+9b+2025$.