Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ABCD$ tâm $O^{\prime }$ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $IA,IB,IC,ID$ gắn cố định tại điểm $I(0;0;9)$ như hình vẽ. Biết điểm $O^{\prime }(0;0;5)$, $A\left(-\sqrt{2};\sqrt{2};5\right)$, điểm $D(a;b;c)$ với $a>0,c>5$ và góc $\widehat{OID}$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ lần lượt là lực căng của dây $IB,IC,ID,IA$, biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=50N$ và $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=40N$.

Tính khối lượng $m(\text{kg})$ của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (cho gia tốc trọng trường $g=9,8m/s^2$ và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức $P=mg$).

(AI giải đề cho tôi)
Xác định D: vì ABCD hình vuông tâm O'(0;0;5) nên O'D ⊥ O'A và |O'D| = |O'A| = 2. Với D(a;b;c) ta có a = b và 2a² + (c−5)² = 4. Đặt t = c − 5 ∈ (0;2]. Góc ∠OID có đỉnh I: cos∠OID = (9−c)/√(a²+b²+(c−9)²) = (4−t)/√(20−8t). Đạo hàm theo t bằng 4(t−1)/(20−8t)^{3/2}, nên cos nhỏ nhất (góc lớn nhất) tại t = 1, tức c = 6, a = b = √(3/2). Khi đó B = −D = (−√(3/2);−√(3/2);4), C = (√2;−√2;5) (kiểm tra: AB ⊥ BC, |AB| = |BC| = 2√2).

Các vectơ đơn phương hướng dây (hướng từ A,B,C,D về I):
- IA: (√2;−√2;4)/(2√5), IB: (√(3/2);√(3/2);5)/(2√7), IC: (−√2;√2;4)/(2√5), ID: (−√(3/2);−√(3/2);3)/(2√3).

Cân bằng của tấm bảng: tổng 4 lực căng + trọng lượng (0;0;−mg) = 0.
Thành phần ngang: so sánh cặp A–C cho F4 = F2 = 40 N; cặp B–D cho F3/(2√3) = F1/(2√7) ⇒ F3 = 50√(3/7) N.
Thành phần thẳng đứng:
mg = 50·5/(2√7) + 40·4/(2√5) + 50√(3/7)·3/(2√3) + 40·4/(2√5) = 125/√7 + 75/√7 + 16√5 + 16√5 = 200/√7 + 32√5 ≈ 147,15 N.
Vậy m = 147,15/9,8 ≈ 15,01 ≈ 15 kg, khớp với đáp án 15.