Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ABCD$ tâm $O^{\prime }$ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $IA,IB,IC,ID$ gắn cố định tại điểm $I(0;0;9)$ như hình vẽ. Biết điểm $O^{\prime }(0;0;5)$, $A\left(-\sqrt{2};\sqrt{2};5\right)$, điểm $D(a;b;c)$ với $a>0,c>5$ và góc $\widehat{O^{\prime }ID}$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ lần lượt là lực căng của dây $IB,IC,ID,IA$, biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=50N$ và $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=40N$.

Tính khối lượng $m$ (kg) của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (cho gia tốc trọng trường $g=9,8m/s^2$ và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức $P=mg$).

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;3)$ và $B(2;-3;-5)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=25$ và $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm thuộc $(P)$ sao cho $MN=1$. Biết giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ có dạng $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ $(a,b,c\in \mathbb{N}$ và $c$ là số nguyên tố$)$. Tính $a+b+c$

Hình bên dưới minh họa một cái lều hai mái là hai hình chữ nhật giống nhau trong không gian $Oxyz$, với điểm $A$ nằm trên $Ox$, điểm $C$ nằm trên $Oy$. Biết các kích thước của mái lều là $SA=5m$, $AB=10m$, độ cao từ $S$ xuống mặt đất là $4m$. Bạn An muốn trang trí chiếc lều bằng cách treo các sợi dây cờ trang trí từ các góc lều $O,A,B,C$ đến đuôi một chiếc đèn treo từ vị trí chính giữa của $SQ$, cách $SQ$ $50cm$. Hỏi tổng chiều dài sợi dây cờ trang trí tối thiểu bạn An cần mua là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian với hệ tọa độ $(Oxyz)$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ và hai điểm $A(2;-1;0)$, $B(3\sqrt{3};0;-1)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(P)$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=-MA+7MB$ bằng $a\sqrt{b}(a,b\in \mathbb{N})$. Tính giá trị biểu thức $Q=3a+9b+2025$.

Ở phường Tân An, có hai trạm phát sóng wifi A, B đặt trên 2 trụ cao 20m và hai trụ này cách nhau 500m. Trạm A có tầm phát sóng 400m, trạm B có tầm phát sóng 300m. Trên mặt đất có nút giao hai con đường ở vị trí C cách chân hai trạm phát sóng A và B lần lượt là 600m và 400m. Biết có 1 Flycam đang bay trên không trung trong vùng phủ sóng wifi của trạm A hoặc trạm B và một ô tô đang di chuyển trên con đường thẳng nối từ chân trạm A đến C, rồi cua vào đường thẳng từ C đến chân trạm B. Hỏi khoảng cách lớn nhất có thể của Flycam với ô tô là bao nhiêu mét (giả sử chân trụ trạm A và B ở sát cạnh đường và Flycam được điều khiển bởi sóng wifi này nên khi ra ngoài vùng phủ sóng của trạm A và B thì sẽ bị rơi).

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 5. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(P)$ qua $MN$, song song với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và cắt $BC$ tại $Q$. Tính độ dài đoạn thẳng $BQ$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai lớp kính lần lượt là hai mặt phẳng có phương trình
$$\{\begin{array}{l}(\alpha ):2x-2y-z+3\sqrt{3}=0\\ (\beta ):-4x+4y+2z+12\sqrt{3}=0\end{array}$$
. Một nguồn sáng được chiếu vào hai tấm kính là tập hợp các đường thẳng có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;1)$ và đi qua các điểm $M(3;0;0),N(1;1;1)$ và $P(3;5;-5)$. Biết rằng các giao điểm của các đường thẳng nói trên với hai tấm kính $(\alpha )$ và $(\beta )$ là 6 đỉnh của một khối đa diện. Thể tích $V$ của khối đa diện tạo bởi 6 điểm đó có kết quả là $a\sqrt{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $b$ là số nguyên tố. Tính giá trị của $a+b$.