Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai lớp kính lần lượt là hai mặt phẳng có phương trình
$$\{\begin{array}{l}(\alpha ):2x-2y-z+3\sqrt{3}=0\\ (\beta ):-4x+4y+2z+12\sqrt{3}=0\end{array}$$
. Một nguồn sáng được chiếu vào hai tấm kính là tập hợp các đường thẳng có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;1)$ và đi qua các điểm $M(3;0;0),N(1;1;1)$ và $P(3;5;-5)$. Biết rằng các giao điểm của các đường thẳng nói trên với hai tấm kính $(\alpha )$ và $(\beta )$ là 6 đỉnh của một khối đa diện. Thể tích $V$ của khối đa diện tạo bởi 6 điểm đó có kết quả là $a\sqrt{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $b$ là số nguyên tố. Tính giá trị của $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba đường thẳng qua M,N,P có vecto chỉ phương (1;1;1). Tham số hóa và thay vào hai mặt phẳng:
- Đường qua M(3;0;0): (3+t;t;t). Trên (α): 6−t+3√3=0 ⇒ t=6+3√3, điểm A₁=(9+3√3;6+3√3;6+3√3). Trên (β): −12+2t+12√3=0 ⇒ t=6−6√3, điểm B₁=(9−6√3;6−6√3;6−6√3).
- Đường qua N(1;1;1): (1+t;1+t;1+t). Trên (α): −(1+t)+3√3=0 ⇒ t=3√3−1, A₂=(3√3;3√3;3√3). Trên (β): 2(1+t)+12√3=0 ⇒ t=−1−6√3, B₂=(−6√3;−6√3;−6√3).
- Đường qua P(3;5;−5): (3+t;5+t;−5+t). Trên (α): 1−t+3√3=0 ⇒ t=1+3√3, A₃=(4+3√3;6+3√3;−4+3√3). Trên (β): −2+2t+12√3=0 ⇒ t=1−6√3, B₃=(4−6√3;6−6√3;−4−6√3).
Tam giác trên (α): A₂−A₁=(−9;−6;−6), A₃−A₁=(−5;0;−10), tích có hướng (60;−60;−30), độ dài 90 ⇒ S₁=45.
Tam giác trên (β): B₂−B₁=(−9;−6;−6), B₃−B₁=(−5;0;−10) ⇒ S₂=45 (hai tam giác bằng nhau).
Hai mặt phẳng song song: (β) chia −2 được 2x−2y−z−6√3=0, khoảng cách = |3√3+6√3|/3 = 3√3.
Vì các cạnh nối song song và hai tam giác bằng nhau, khối đa diện là lăng trụ nghiêng: V = S·h = 45·3√3 = 135√3. Vậy a=135, b=3, a+b=138.