Một nhà kho gồm nền nhà $OABC$, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật gắn trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mắt một người quan sát đặt tại điểm $M(1;2;3)$ và quan sát một thanh $AB$ với $A(7;8;-3)$, $B(2;3;-3)$. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R$ và che khuất hoàn toàn thanh $AB$ đối với người quan sát tại điểm $M$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;0;10)$ và $B\left(3;4;\frac{19}{2}\right)$. Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $OAM$ không phải là tam giác nhọn và có diện tích bằng $20$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(4;0;0)$, $B(1;2;3)$. Gọi $M$ là một điểm đi động thỏa mãn $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}=\frac{\sqrt{3}OM\cdot OA}{2}$ và $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MO}=0$. Gọi $p,q$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $BM$. Giá trị $p^2+q^2$ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy $AB=2$. Biết $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$, thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+2z-1=0$, các điểm $A(0;1;1)$, $B(1;0;0)$ ($A$ và $B$ nằm trên mặt phẳng $(P)$) và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=4$. $CD$ là một đường kính thay đổi của $(S)$ sao cho $CD\parallel (P)$ và bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện đó bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(10;0;0)$ và $B(6;8;0)$. Gọi $C$ là một điểm thay đổi trên trục $Oz$ và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Biết rằng $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng