Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(4;0;0)$, $B(1;2;3)$. Gọi $M$ là một điểm đi động thỏa mãn $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}=\frac{\sqrt{3}OM\cdot OA}{2}$ và $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MO}=0$. Gọi $p,q$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $BM$. Giá trị $p^2+q^2$ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy $AB=2$. Biết $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$, thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+2z-1=0$, các điểm $A(0;1;1)$, $B(1;0;0)$ ($A$ và $B$ nằm trên mặt phẳng $(P)$) và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=4$. $CD$ là một đường kính thay đổi của $(S)$ sao cho $CD\parallel (P)$ và bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện đó bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(10;0;0)$ và $B(6;8;0)$. Gọi $C$ là một điểm thay đổi trên trục $Oz$ và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Biết rằng $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng

Trong một gian triển lãm nghệ thuật, người ta thiết kế một không gian hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AD=20\text{ m}$, $AB=10\text{ m}$, $A{A}^{\prime }=5\text{ m}$ và được gắn vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ $O$ trùng với điểm $A$, tia $Ox$ chứa điểm $D$, tia $Oy$ chứa điểm $B$, tia $Oz$ chứa điểm $A^{\prime }$ như hình vẽ. Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Người ta căng hai sợi dây cáp phát sáng vào hai đường chéo của hình hộp là $A^{\prime }C$ và $B{D}^{\prime }$. Giá sợi dây cáp là $100$ nghìn đồng/mét.

Trong không gian $Oxyz$, mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, có hai trạm phát sóng trên không: trạm $A$ đặt trên không tại vị trí $A(1;1;3)$, trạm $B$ đặt trên không tại vị trí $B(10;13;6)$. Trên mặt đất người ta cần đặt hai trạm thu tín hiệu $M$ và $N$ sao cho khoảng cách giữa hai trạm thu là cố định: $MN=5$ và tổng chiều dài dây nối từ trạm $A$ đến $M$ và từ trạm $B$ đến $N$ là ngắn nhất. Khi đó, tổng hoành độ hai điểm $M$ và $N$ bằng

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $3\text{ km}$ về phía Đông và $2\text{ km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{ km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{ km}$ về phía Bắc và $1\text{ km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,3\text{ km}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu ki lô mét? *(Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*