Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $\frac{x^2+y^2+7x}{x}>{\log }_2\frac{x^2+y^2}{x}+{\left(\frac{x^2+y^2}{x}\right)}^{{\log }_{2}3}$?

Điều kiện: $\frac{x^2+y^2}{x}>0\iff x>0$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\ge 1$.
Đặt $t=\frac{x^2+y^2}{x}\ge x\ge 1$. Bất phương trình trở thành:
$t+7-{\log }_{2}t-t^{{\log }_{2}3}>0$.
Xét hàm số $f(t)=t+7-{\log }_{2}t-t^{{\log }_{2}3}$ trên $[1;+\infty )$, có:
$f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{t\ln 2}-{\log }_{2}3\cdot t^{{\log }_{2}3-1}<0,\forall t\ge 1$, nên $f(t)$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$.
Mặt khác $f(4)=4+7-{\log }_{2}4-4^{{\log }_{2}3}=11-2-9=0$.
Do đó $f(t)>0\iff 1\le t<4\iff \frac{x^2+y^2}{x}<4\iff (x-2{)}^2+y^2<4$.
Vì $x,y\in \mathbb{Z}$:
- Với $x=1\Rightarrow y^2<3\Rightarrow y\in \{-1;0;1\}$ ($3$ cặp).
- Với $x=2\Rightarrow y^2<4\Rightarrow y\in \{-1;0;1\}$ ($3$ cặp).
- Với $x=3\Rightarrow y^2<3\Rightarrow y\in \{-1;0;1\}$ ($3$ cặp).
Vậy có tất cả $9$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.