Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0;+\infty )$, có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn $f^{\prime }(x)-\frac{1}{x^2}{f}^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{5}{18}\left(1-\frac{1}{x^2}\right),\forall x>0$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{f(x)-(x-1{)}^2}{x}$ và $y=0$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $(C):y=x^2-2x;(C^{\prime }):y=-x^2+4x$ là

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y=x^3$, $y=x$, $x=0$, $x=2$ được tính bởi công thức nào sau đây?

Giả sử, hàm cầu và hàm cung của một loại sản phẩm lần lượt được mô hình hóa bởi các hàm số: $D(p)=-0,05p^2-0,15p+45$ và $S(p)=0,1p^2+0,15p$, trong đó $p$ là giá của sản phẩm ($10\le p\le 30$). Thặng dư của người tiêu dùng là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm cầu $D(p)$, đường thẳng nằm ngang $q=q_0$ và đường thẳng thẳng đứng $p=0$. Thặng dư của người sản xuất là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm cung $S(p)$, đường thẳng nằm ngang $q=q_0$ và đường thẳng thẳng đứng $p=0$, ở đây $(p_0;q_0)$ là điểm cân bằng thị trường (điểm giao nhau của đồ thị hàm cung và đồ thị hàm cầu).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P_1):y=-x^2+6x-5$ và đường thẳng $d:y=x-1$. Một parabol $(P_2)$ có đỉnh $S(a;b)$ ($a\in (0;6)$) cùng với $(P_1)$ đi qua các giao điểm của $(P_1)$ và $d$, đồng thời $(P_2)$ đi qua điểm $M(0;-6)$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành. Biết rằng, $S_1=S_2$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^3-12a^2+108a$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+2$ và đường thẳng $y=6$ bằng

Hình bên dưới là mặt cắt dọc của một chiếc cầu bê tông (phần tô đậm, các đơn vị đều đo bằng mét).

Biết chiều rộng của cầu bằng $9\text{ m}$. Thể tích bê tông ít nhất cần có để đúc cầu là