Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P_1):y=-x^2+6x-5$ và đường thẳng $d:y=x-1$. Một parabol $(P_2)$ có đỉnh $S(a;b)$ ($a\in (0;6)$) cùng với $(P_1)$ đi qua các giao điểm của $(P_1)$ và $d$, đồng thời $(P_2)$ đi qua điểm $M(0;-6)$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành. Biết rằng, $S_1=S_2$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^3-12a^2+108a$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+2$ và đường thẳng $y=6$ bằng

Hình bên dưới là mặt cắt dọc của một chiếc cầu bê tông (phần tô đậm, các đơn vị đều đo bằng mét).

Biết chiều rộng của cầu bằng $9\text{ m}$. Thể tích bê tông ít nhất cần có để đúc cầu là

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$. Biết rằng $(C)$ đi qua điểm $A(1;4)$; tiếp tuyến $d$ tại $A$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $-2$ và $0$; diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$, đồ thị $(C)$ và hai đường thẳng $x=-2$, $x=0$ có diện tích bằng $\frac{28}{5}$ (phần gạch sọc). Giá trị của ${\int }_0^{1}f(x)dx$ bằng

Diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây?

Sau khi đọc xong truyện ngắn rất cảm động “Chiếc lá cuối cùng” của nhà văn O. Henry, bạn An muốn thiết kế hình ảnh một chiếc lá để gửi đến chị em Johnsy và Sue. Chiếc lá là một hình phẳng được giới hạn bởi hai phần parabol giống nhau. Biết một parabol có đỉnh là điểm $O$ và trục đối xứng của hình phẳng này là một đường thẳng tạo với phương ngang góc $60^{\circ }$. Với các kích thước được cho như hình vẽ, hãy tính diện tích của chiếc lá. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của ${\text{cm}}^2$)

Diện tích hình phẳng phần được gạch chéo trong hình bên bằng