Diện tích hình phẳng phần được gạch chéo trong hình bên bằng

Hướng tới chuỗi sự kiện văn hóa và du lịch năm $2026$ tại Điện Biên, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa Ban khổng lồ phát sáng đặt tại Quảng trường 7/5. Bông hoa được thiết kế gồm $5$ cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tản sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là $15\text{ cm}$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình là: $(P_1):y=-x^2+4x$ và $(P_2):y=x^2-2x$. Biết chi phí vật liệu nhựa mica tản sáng này là $40$ triệu đồng cho mỗi $1{\text{ m}}^3$. Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả $5$ cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $HG=16\text{ m}$, chiều rộng $FG=12\text{ m}$, người ta xây một hồ bơi là phần diện tích giới hạn bởi bốn đường tròn $(C_1),(C_2),(C_3),(C_4)$ như hình vẽ. Biết rằng đường tròn $(C_1)$ có đường kính $AB=10\text{ m}$ và tâm là điểm $I$, khoảng cách từ điểm $I$ đến hai cạnh $HG$ và $HE$ cùng bằng $5\text{ m}$. Đường tròn $(C_2)$ có đường kính $CD=6\text{ m}$ và tâm là điểm $K$ với khoảng cách từ $K$ đến cạnh $FG$ bằng $3\text{ m}$ và khoảng cách từ $K$ đến cạnh $EF$ bằng $5\text{ m}$. Đường tròn $(C_3)$ đi qua hai điểm $A,C$ và tiếp xúc với cạnh $EF$. Đường tròn $(C_4)$ đi qua hai điểm $B,D$ và có bán kính bằng $\sqrt{40}\text{ m}$. Hãy tính diện tích của hồ bơi như hình vẽ theo đơn vị ${\text{m}}^2$. *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)*

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+25x-2025$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2-3x$; với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $h(x)=f(x)-g(x)$ có ba điểm cực trị là $-1;1$ và $3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng

Khuôn viên nhà bạn Thùy Dương có dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một khoảng bằng $4\text{ m}$. Phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ Nhung Nhật. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí trồng hoa và cỏ Nhung Nhật tương ứng là $250.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và $150.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi chi phí để trồng hoa và trồng cỏ Nhung Nhật trong khuôn viên đó hết bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Đồ thị hàm số $y=f(x)=x^4-b{x}^2+c$ ($b>0$) có ba điểm cực trị là $A,B,C(0,4)$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số có đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu. Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm $f(x)$ và $g(x)$ bằng $\frac{16}{15}$ thì ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=x^3-x^2$ và $y=x^2-x$ được tính bởi công thức