Một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt{3}x$. Thể tích của vật thể bằng

Cho hình nón $\mathcal{H}$ có bán kính đáy $OA=6\text{ cm}$ và chiều cao $SO=10\text{ cm}$. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng $(P)$ song song với trục $SO$ và cách trục $SO$ một khoảng bằng $3\text{ cm}$ ta được hai phần. Thể tích phần không chứa đỉnh $S$ bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (*Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục*).

Sân vận động Sport Hub là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm $2015$. Nền sân là một elip $(E)$ có trục lớn dài $150\text{ m}$, trục bé dài $90\text{ m}$. Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của $(E)$ và cắt elip ở $M,N$ thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm $I$ với $MN$ là một dây cung và góc $\widehat{MIN}=90^{\circ }$. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu làm mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu?

Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là $25\text{ cm}$ (tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $R=\frac{4}{9}{x}^3-\frac{5}{3}{x}^2+\frac{4}{3}x+\frac{25}{36}\text{ (dm)}$ với $x\in \left[0;\frac{5}{2}\right]$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa (tính theo đơn vị $\text{dm}$). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa (kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị)?

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,x=1$, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 1)$ là một tam giác đều có cạnh bằng $x$.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh bằng $\sqrt{9-x^2}$.

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=3$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 3)$ cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3x^2-2$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên?