Cho hình nón $\mathcal{H}$ có bán kính đáy $OA=6\text{ cm}$ và chiều cao $SO=10\text{ cm}$. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng $(P)$ song song với trục $SO$ và cách trục $SO$ một khoảng bằng $3\text{ cm}$ ta được hai phần. Thể tích phần không chứa đỉnh $S$ bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (*Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục*).

Chọn trục $Ox$ trùng với đường kính đáy vuông góc với mặt phẳng $(P)$ tại $H$ với $OH=3\text{ cm}$, khi đó phần không chứa đỉnh $S$ tương ứng với $x\in [3;6]$.
Mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\in [3;6]$ cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân có cạnh đáy $2\sqrt{R^2-x^2}=2\sqrt{36-x^2}$ và chiều cao $h(x)=\frac{SO}{R}(R-x)$? Không, đỉnh của thiết diện nằm trên mặt xung quanh của hình nón có khoảng cách từ trục $SO$ là $x$, nên chiều cao của tam giác thiết diện là $h(x)=SO\cdot \left(1-\frac{x}{R}\right)=10\left(1-\frac{x}{6}\right)=\frac{5}{3}(6-x)$? Kiểm tra thiết diện song song với trục $SO$: tại hoành độ $x$, điểm trên đường sinh có bán kính $r=x$ nên độ cao so với đáy là $z(x)=10\left(1-\frac{x}{6}\right)$? Không, điểm $(x,y,z)$ thuộc mặt nón thỏa mãn $x^2+y^2=\frac{R^2}{h^2}(h-z{)}^2=\frac{36}{100}(10-z{)}^2$, nên thiết diện là một phần parabol/hyperbol! Tính theo thiết diện vuông góc với trục $SO$ tại độ cao $z\in [0;5]$ (vì tại $z=5$ bán kính mặt cắt tròn là $r(5)=3$): bán kính đường tròn thiết diện là $r(z)=6-0,6z$, diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung cách tâm $3\text{ cm}$ là $S(z)=r^2\arccos \left(\frac{3}{r}\right)-3\sqrt{r^2-9}$. Thể tích cần tìm là $V={\int }_0^5\left[r(z{)}^2\arccos \left(\frac{3}{r(z)}\right)-3\sqrt{r(z{)}^2-9}\right]dz=40\pi -30\sqrt{3}-15\ln (2+\sqrt{3})\approx 41,5({\text{cm}}^3)$.