Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $a$, gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Nếu ${\int }_0^{3}f(x)dx=6$ thì ${\int }_0^3\left[\frac{1}{3}f(x)+2\right]dx$ bằng

Khảo sát thời gian tập thể dục trong một tuần của $50$ học sinh (đơn vị: phút), ta thu được bảng số liệu ghép nhóm sau:



Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;1;0)$ và $B(0;1;-2)$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;1;0)$, $B(3;0;0)$ và $C(0;0;-2)$. Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là:

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3$ công bội $q=\frac{1}{2}$. Hỏi $\frac{3}{64}$ là số hạng thứ mấy?

Cho hàm số bậc ba $f(x)=x^3-3x-1$.

Trong một cơ sở chế biến nông sản, tốc độ rút nước của một hệ thống sấy lạnh sau khi khởi động có xu hướng giảm dần theo thời gian và tiến về mức ổn định. Giả sử sau khi bắt đầu vận hành được $t$ giờ, tốc độ rút nước của hệ thống này được mô hình bởi hàm số $W^{\prime }(t)=A+3e^{-0,2t}$ (đơn vị: kg/giờ) với $0\le t\le 10$, trong đó $W(t)$ (kg) là lượng nước tổng cộng được rút ra tính từ lúc bắt đầu vận hành. Biết rằng trong $10$ giờ đầu tiên, hệ thống đã rút được tổng cộng $65$ kg nước.

Một gian hàng thời trang (chuyên quần áo, giày dép) trên TikTok Shop đang diễn ra phiên livestream MEGA Sale. Qua theo dõi dữ liệu người xem, hệ thống phân tích thống kê được có $40\%$ người xem có hành động "click vào giỏ hàng". Trong số những người đã click vào giỏ hàng, có $75\%$ người xem quyết định chốt đơn (mua các sản phẩm quần áo, giày dép). Ngược lại, trong số những người xem không click vào giỏ hàng, chỉ có $15\%$ người chốt đơn. Chọn ngẫu nhiên một người xem phiên livestream đó.

Tại một khu nông trường công nghệ cao, người ta lắp đặt một bồn chứa dung dịch thủy canh có dạng hình cầu $(S)$. Để kiểm tra bề mặt của bồn chứa, một thiết bị bay không người lái (flycam) được lập trình để bay đến lơ lửng tại vị trí $A$. Từ $A$, flycam phát ra các tia quét laser để dò tìm lỗi bề mặt. Các tia quét này chạm (tiếp xúc) với bề mặt bồn chứa tại các điểm $M$. Sau khi hoàn thành thao tác quét tại $A$, flycam được lập trình bay thẳng về trạm sạc theo một quỹ đạo là đường thẳng $d$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị tính bằng mét), giả sử bồn chứa hình cầu có phương trình $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=9$, vị trí lơ lửng ban đầu của flycam là $A(2;-2;3)$ và quỹ đạo bay về trạm sạc nằm trên đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-3}{3}$.

Một xưởng mộc sản xuất hai loại sản phẩm: Bàn làm việc (loại I) và Bàn trang điểm (loại II).
Sản xuất $1$ bàn loại I cần $2$ khối gỗ A, $3$ khối gỗ B và đem lại lợi nhuận $3$ triệu đồng.
Sản xuất $1$ bàn loại II cần $4$ khối gỗ A, $2$ khối gỗ B và đem lại lợi nhuận $5$ triệu đồng.
Hiện tại, kho của xưởng chỉ còn $41$ khối gỗ A và $39$ khối gỗ B. Hỏi tổng lợi nhuận lớn nhất mà xưởng có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A{C}^{\prime }=12$, diện tích của tam giác $A^{\prime }BC$ bằng $10$ và đường thẳng $A{C}^{\prime }$ tạo với mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ một góc $30^{\circ }$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?

Trong một căn phòng (được mô phỏng bởi hệ tọa độ $Oxyz$ với đơn vị độ dài là đề-xi-mét), người ta có treo một quả cầu trang trí với phương trình bề mặt là $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$. Một con nhện đang phục kích ở vị trí $T(-1;2;-10)$ trên trần nhà, nó phát hiện ra một con muỗi đang đậu trên bề mặt quả cầu tại vị trí $M(-1;-3;3)$. Nó quyết định tấn công bằng cách thả tơ rơi thẳng xuống, chạm vào bề mặt quả cầu $(S)$ tại một điểm $P$ (biết đường thẳng $TP$ là tiếp tuyến của mặt cầu). Ngay khi chạm vào quả cầu, nhện lập tức bò trên bề mặt $(S)$ bằng con đường ngắn nhất để bắt con muỗi. Biết tốc độ đu tơ của nhện là $4\text{ dm/s}$ và tốc độ bò trên bề mặt quả cầu là $1,5\text{ dm/s}$. Hãy tính thời gian ngắn nhất (giây) kể từ lúc nhện bắt đầu thả tơ cho đến khi bắt được muỗi. (*Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm*).

Một hợp tác xã nông nghiệp cần phân phối một lô thùng sầu riêng (các thùng được đóng gói tiêu chuẩn giống hệt nhau) đến $4$ đại lý bán lẻ trên địa bàn. Để đảm bảo điều kiện bảo quản trong kho lạnh, mỗi đại lý phải nhận tối thiểu $6$ thùng và tối đa $12$ thùng. Biết rằng hợp tác xã dự kiến xuất kho tổng cộng từ $30$ đến $42$ thùng. Gọi $T$ là số cách hợp tác xã phân phối lô sầu riêng này đến các đại lý. Tìm $T$.

Cho hình nón $\mathcal{H}$ có bán kính đáy $OA=6\text{ cm}$ và chiều cao $SO=10\text{ cm}$. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng $(P)$ song song với trục $SO$ và cách trục $SO$ một khoảng bằng $3\text{ cm}$ ta được hai phần. Thể tích phần không chứa đỉnh $S$ bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (*Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục*).

Anh Công dự định làm một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp bằng vật liệu kính. Biết rằng đáy bể có thiết kế chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Kinh phí tối đa anh Công có thể chi trả để mua kính làm các mặt bể là $3600000$ đồng và giá kính ghép bể hiện tại là $400000$ đồng/${\text{m}}^2$. Hỏi thể tích nước lớn nhất mà chiếc bể cá có thể chứa được là bao nhiêu mét khối? (Xem độ dày của kính là không đáng kể và không tính phần vật liệu hao hụt khi dán keo).