Cho ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x=4,{\int }_0^{3}f(x)\text{d}x=3$ và ${\int }_0^{3}g(x)\text{d}x=-2$.

Nếu ${\int }_{-1}^{3}f(x)dx=2$ và ${\int }_{-1}^{3}g(x)dx=3$ thì ${\int }_{-1}^3\left(f(x)-2g(x)\right)dx$ bằng

Đường gấp khúc trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$. Tích phân ${\int }_{-2}^{3}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f(1)={\int }_0^{1}x\cdot f^{\prime }(x)dx$. Tích phân ${\int }_0^{1}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số bậc bốn có ba điểm cực trị dương lần lượt là $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_1+x_2+x_3=3$ và $g(x)$ là parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)-g(x)}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-2,x=0$ bằng

Hướng tới chuỗi sự kiện văn hóa và du lịch năm $2026$ tại Điện Biên, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa Ban khổng lồ phát sáng đặt tại Quảng trường 7/5. Bông hoa được thiết kế gồm $5$ cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tản sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là $15\text{ cm}$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình là: $(P_1):y=-x^2+4x$ và $(P_2):y=x^2-2x$. Biết chi phí vật liệu nhựa mica tản sáng này là $40$ triệu đồng cho mỗi $1{\text{ m}}^3$. Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả $5$ cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?

Biết rằng ${\int }_1^3\left(\frac{2}{x}+3\right)\text{d}x=\ln b+c$, với $b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị của $b+c$ là bao nhiêu?