Nếu ${\int }_{-1}^{3}f(x)dx=2$ và ${\int }_{-1}^{3}g(x)dx=3$ thì ${\int }_{-1}^3\left(f(x)-2g(x)\right)dx$ bằng

Hướng tới chuỗi sự kiện văn hóa và du lịch năm $2026$ tại Điện Biên, một nhóm kỹ sư thiết kế một mô hình bông hoa Ban khổng lồ phát sáng đặt tại Quảng trường 7/5. Bông hoa được thiết kế gồm $5$ cánh hoa có kích thước và hình dáng giống hệt nhau. Mỗi cánh hoa được đúc đặc nguyên khối từ nhựa mica tản sáng cao cấp với độ dày đồng nhất là $15\text{ cm}$. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ là mét), bề mặt của mỗi cánh hoa được mô tả là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol có phương trình là: $(P_1):y=-x^2+4x$ và $(P_2):y=x^2-2x$. Biết chi phí vật liệu nhựa mica tản sáng này là $40$ triệu đồng cho mỗi $1{\text{ m}}^3$. Hỏi tổng chi phí vật liệu để đúc cả $5$ cánh hoa trong mô hình biểu tượng này là bao nhiêu triệu đồng?

Biết rằng ${\int }_1^3\left(\frac{2}{x}+3\right)\text{d}x=\ln b+c$, với $b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị của $b+c$ là bao nhiêu?

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $HG=16\text{ m}$, chiều rộng $FG=12\text{ m}$, người ta xây một hồ bơi là phần diện tích giới hạn bởi bốn đường tròn $(C_1),(C_2),(C_3),(C_4)$ như hình vẽ. Biết rằng đường tròn $(C_1)$ có đường kính $AB=10\text{ m}$ và tâm là điểm $I$, khoảng cách từ điểm $I$ đến hai cạnh $HG$ và $HE$ cùng bằng $5\text{ m}$. Đường tròn $(C_2)$ có đường kính $CD=6\text{ m}$ và tâm là điểm $K$ với khoảng cách từ $K$ đến cạnh $FG$ bằng $3\text{ m}$ và khoảng cách từ $K$ đến cạnh $EF$ bằng $5\text{ m}$. Đường tròn $(C_3)$ đi qua hai điểm $A,C$ và tiếp xúc với cạnh $EF$. Đường tròn $(C_4)$ đi qua hai điểm $B,D$ và có bán kính bằng $\sqrt{40}\text{ m}$. Hãy tính diện tích của hồ bơi như hình vẽ theo đơn vị ${\text{m}}^2$. *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)*

Cho hàm số $f$ và $g$ liên tục trên đoạn $[1;5]$ sao cho ${\int }_1^{5}f(x)\text{d}x=2$ và ${\int }_1^{5}g(x)\text{d}x=-4$. Giá trị của ${\int }_1^5\left[g(x)-f(x)\right]\text{d}x$ là

Cho ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=1$ tích phân ${\int }_0^1\left(2f(x)-3x^2\right)\text{d}x$ bằng

${\int }_1^{3}f(x)\text{d}x=-2024$ thì ${\int }_3^{1}f(x)\text{d}x$ bằng