Biết rằng ${\int }_1^3\left(\frac{2}{x}+3\right)\text{d}x=\ln b+c$, với $b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị của $b+c$ là bao nhiêu?

Cho hàm số $f$ và $g$ liên tục trên đoạn $[1;5]$ sao cho ${\int }_1^{5}f(x)\text{d}x=2$ và ${\int }_1^{5}g(x)\text{d}x=-4$. Giá trị của ${\int }_1^5\left[g(x)-f(x)\right]\text{d}x$ là

Cho ${\int }_0^{1}f(x)\text{d}x=1$ tích phân ${\int }_0^1\left(2f(x)-3x^2\right)\text{d}x$ bằng

${\int }_1^{3}f(x)\text{d}x=-2024$ thì ${\int }_3^{1}f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+25x-2025$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2-3x$; với $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $h(x)=f(x)-g(x)$ có ba điểm cực trị là $-1;1$ và $3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Khi đó hiệu số $F(0)-F(1)$ bằng

Biết ${\int }_1^2\frac{x}{3x+\sqrt{9x^2-1}}\text{d}x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{35}$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ, tính $P=a+2b+c-7$.