Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=\frac{\pi }{2}$ bằng

Phương trình ${\log }_2(x-3)+{\log }_{2}x=2$ có số nghiệm bằng

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

Cân nặng của 35 người trưởng thành tại một khu dân cư được cho như sau:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;2;-1)$ và nhận vectơ $\vec{u}=(-2;0;1)$ làm vectơ chỉ phương là

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=3x-x^2$ và trục hoành. Khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục hoành có thể tích bằng

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$.

Mỗi học sinh trong một trường học được phân loại ngẫu nhiên thành học sinh bán trú hoặc không bán trú, học sinh nam hoặc học sinh nữ. Biết rằng, trong trường có $45\%$ học sinh nam, $35\%$ học sinh bán trú và $25\%$ học sinh nam bán trú. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường.

Giả sử, hàm cầu và hàm cung của một loại sản phẩm lần lượt được mô hình hóa bởi các hàm số: $D(p)=-0,05p^2-0,15p+45$ và $S(p)=0,1p^2+0,15p$, trong đó $p$ là giá của sản phẩm ($10\le p\le 30$). Thặng dư của người tiêu dùng là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm cầu $D(p)$, đường thẳng nằm ngang $q=q_0$ và đường thẳng thẳng đứng $p=0$. Thặng dư của người sản xuất là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm cung $S(p)$, đường thẳng nằm ngang $q=q_0$ và đường thẳng thẳng đứng $p=0$, ở đây $(p_0;q_0)$ là điểm cân bằng thị trường (điểm giao nhau của đồ thị hàm cung và đồ thị hàm cầu).

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$ ($a\ne 0,m\ne 0$) có đồ thị như hình vẽ bên.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P_1):y=-x^2+6x-5$ và đường thẳng $d:y=x-1$. Một parabol $(P_2)$ có đỉnh $S(a;b)$ ($a\in (0;6)$) cùng với $(P_1)$ đi qua các giao điểm của $(P_1)$ và $d$, đồng thời $(P_2)$ đi qua điểm $M(0;-6)$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành. Biết rằng, $S_1=S_2$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^3-12a^2+108a$.

Bạn Nam muốn đi từ quốc gia A tới quốc gia G. Hai quốc gia này đều có sân bay nhưng không có đường bay thẳng, nên muốn đi được thì Nam phải bay trung chuyển qua các quốc gia khác. Nam khảo sát giá vé và các đường bay phù hợp với thời gian và tài chính của mình thì thấy có thể chọn trung chuyển ở sân bay các quốc gia A, B, C, D, E, F, G, giá tiền bay mỗi chiều giữa 2 nước là như nhau, được cho trong các bảng sau:

Tính số tiền vé ít nhất có thể để Nam đi được từ quốc gia A tới quốc gia G.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $B$, $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, $AB=2$. Mặt bên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tạo với đáy góc $60^{\circ }$, hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt đáy là điểm $H$ sao cho $\widehat{HAB}=\widehat{HCB}=90^{\circ }$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Trong một dự án nghiên cứu, số cây được mang về 2 vườn để trồng. Khu vườn 1 được giao $70\%$ số cây, tỷ lệ cây sống được là $94\%$, còn với khu vườn 2, tỷ lệ cây sống được là $92\%$. Các cây đều được mã hóa và có thể theo dõi khả năng sinh tồn từ xa. Nhóm nghiên cứu chuẩn bị chọn 1 cây để theo dõi quá trình phát triển của nó. Nếu thời tiết xấu thì chỉ chọn được cây trong vườn số 1. Nếu thời tiết đẹp có thể chọn 1 cây bất kỳ ở cả 2 vườn, xác suất chọn các cây là như nhau. Biết $80\%$ là thời tiết đẹp, $20\%$ là thời tiết xấu. Tính xác suất để chọn được cây trong vườn 1 biết cây đó còn sống (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, bề mặt của Trái Đất là mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$ (1 đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với 6371 km trên thực tế); vị trí $P$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{\circ }\text{N},{\beta }^{\circ }\text{E}$ ($0<\alpha <90,0<\beta <180$) có tọa độ là $P(\cos {\alpha }^{\circ }\cos {\beta }^{\circ };\cos {\alpha }^{\circ }\sin {\beta }^{\circ };\sin {\alpha }^{\circ })$. Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí $P$ và $Q$ trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ $PQ$ của đường tròn có tâm $O$ và đi qua hai điểm $P,Q$. Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí $21^{\circ }02^{\prime }\text{N},105^{\circ }51^{\prime }\text{E}$ và đảo Trường Sa ở vị trí $8^{\circ }39^{\prime }\text{N},111^{\circ }56^{\prime }\text{E}$ (đơn vị: km; kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một công ty chuyên sản xuất thùng phuy để đựng hóa chất, thùng phuy có dạng hình trụ có hai nắp, thùng phuy có thể tích là $1{\text{ m}}^3$. Biết giá vật liệu để làm $1{\text{ m}}^2$ thành thùng phuy là 300 nghìn đồng, để làm $1{\text{ m}}^2$ nắp thùng phuy là 200 nghìn đồng (bề dày của vật liệu không đáng kể). Số tiền ít nhất mà công ty phải bỏ ra để làm một chiếc thùng phuy trên là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?