Cho hàm số $y=(x+1)e^x$ đạt giá trị nhỏ nhất là $-\frac{a}{e^b}$ với a, b $\in \mathbb{N}$. Tính $a+b$.

Xét hàm số $f(x)=\left|x^2+ax+b\right|$ với $a$, $b$ là tham số. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên $[1;3]$. Khi $M$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính $a+2b$ .

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình bên dưới. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-1;3]$. Giá trị của $M+m$ bằng

Khi sản xuất vỏ lon sữa hãng X, nhà sản xuất luôn đặt tiêu chí sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất. Biết rằng lon sữa có dạng hình trụ và có dung tích là 500 ml. Chiều cao của lon sữa bằng bao nhiêu centimet để chi phí vật liệu dùng để sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí $A$ và $B$ cách nhau 4 km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí $C$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cách trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ một khoảng 4 km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước $C$ đến một vị trí $I$ thuộc đoạn thẳng $CM$, sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy $A$ và $B$ (xem hình bên dưới). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

(2,00 điểm)
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x\ge \max |y,z|$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P(x,y,z)=\frac{x}{y}+2\sqrt{1+\frac{y}{z}}+3\sqrt{1+\frac{z}{x}}.$$

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức $G(x)=0,25x^2(30-x)$ trong đó $x$ (mg) là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân, $x>0$. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu?