Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(4;2;1)$; $B(1;-1;2)$ và $C(4;5;3)$.

Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O$ là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục $Oz$ trùng với cột trụ, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước và xem như trục $Oy$ cùng phương với cầu như hình vẽ. Dây cáp $AD$ (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh $D$ thuộc trục $Oz$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $Oyz$, trong đó điểm $D$ là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 m, điểm $A$ cách mặt nước 75 m và cách trục $Oz$ 343 m.
Giả sử ta dùng một đoạn dây nối điểm $N$ trên dây cáp $AD$ và điểm $M$ trên thành cầu, biết $M$ cách mặt nước 75 m và $MN$ song song với cột trụ.
(Nguồn ảnh: https://www.goldengate.org/assets/1/6/ggb-exhibit-chapter-statistics.pdf).
Tính độ dài $MN$, biết điểm $M$ cách trục $Oz$ một khoảng bằng 230 m (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy)

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;-1),B(2;-1;3),C(-4;7;5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là

Một căn phòng có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với chiều dài là $AB=9$ m, chiều rộng là $AD=6$ m và chiều cao là $A{A}^{\prime }=3,5$ m. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ trùng với gốc phòng $A$ và mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sàn, các đỉnh $D,B,A^{\prime }$ lần lượt thuộc các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$; đơn vị đo được lấy theo mét (xem hình bên dưới). Một chiếc đèn được đặt tại vị trí điểm $M$, cách trần nhà 1 m; cách hai bức tường $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ lần lượt là 2 m và 3 m. Một chậu cây được đặt trên bàn tại vị trí điểm $N(4;7;1,2)$.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khi đó $\overrightarrow{C^{\prime }G}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}+p\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Giá trị của $4m-n+5p$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho vecto $\vec{a}=3\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k}$. Tọa độ của vecto $\vec{a}$ là

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 4, cạnh bên bằng 6, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $SC$.
a) Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{ON}$ và $\overrightarrow{CD}$.
b) Tính độ dài của vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).