Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau $t$ phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức $N(t)=1000+30t^2-t^3$ $(0\le t\le 30)$. Hỏi sau bao nhiêu giây thì số vi khuẩn lớn nhất?

Khi sản xuất vỏ lon sữa hãng X, nhà sản xuất luôn đặt tiêu chí sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất. Biết rằng lon sữa có dạng hình trụ và có dung tích là 500 ml. Chiều cao của lon sữa bằng bao nhiêu centimet để chi phí vật liệu dùng để sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí $A$ và $B$ cách nhau 4 km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí $C$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cách trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ một khoảng 4 km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước $C$ đến một vị trí $I$ thuộc đoạn thẳng $CM$, sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy $A$ và $B$ (xem hình bên dưới). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Quan sát một đàn ong trong 20 tuần, người ta ước lượng được số lượng ong trong đàn bởi công thức $P(t)=\frac{200000}{1+100000e^{-t}}$, trong đó $t$ là thời gian tính theo tuần kể từ khi bắt đầu quan sát, $0\le t\le 20$. Tại thời điểm nào thì số lượng ong của đàn tăng nhanh nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của tuần).

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ như hình. Khoảng cách từ $C$ đến $B$ là $4km$. Bờ biển chạy thẳng từ $A$ đến $B$ với khoảng cách là $10km$. Chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng.
Gọi điểm $M$ trên đoạn $AB$ là điểm nối dây từ đất liền ra đảo để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất. Tổng chi phí đó là bao nhiêu triệu đồng?

Một doanh nghiệp Việt Nam sản xuất một loại sản phẩm để xuất khẩu vào thị trường Mỹ. Giả sử khi sản xuất được $x$ sản phẩm ($x>0$), số tiền chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $F(x)=5000-58x+x^2$ (USD) và bộ phận nghiên cứu thị trường chỉ ra số sản phẩm bán ra phụ thuộc vào giá bán theo hàm cầu $x(t)=290-5t$ ($0<t<58$). Trong đó t (USD) là giá bán mỗi sản phẩm và x(t) là số lượng sản phẩm bán được khi định giá ở mức t. Chính phủ Mỹ áp mức thuế 20\% trên tổng doanh thu của công ty. Hỏi công ty cần bán bao nhiêu sản phẩm để doanh nghiệp thu được nhiều lợi nhuận nhất.

Ở một vĩnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ Oxy với đơn vị tương ứng 1 km, nếu hòn đảo ở vị trí gốc tọa độ $O$ thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+4}{x}$, với $x<0$. Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km ? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).