Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 5. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(P)$ qua $MN$, song song với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và cắt $BC$ tại $Q$. Tính độ dài đoạn thẳng $BQ$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai lớp kính lần lượt là hai mặt phẳng có phương trình
$$\{\begin{array}{l}(\alpha ):2x-2y-z+3\sqrt{3}=0\\ (\beta ):-4x+4y+2z+12\sqrt{3}=0\end{array}$$
. Một nguồn sáng được chiếu vào hai tấm kính là tập hợp các đường thẳng có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;1)$ và đi qua các điểm $M(3;0;0),N(1;1;1)$ và $P(3;5;-5)$. Biết rằng các giao điểm của các đường thẳng nói trên với hai tấm kính $(\alpha )$ và $(\beta )$ là 6 đỉnh của một khối đa diện. Thể tích $V$ của khối đa diện tạo bởi 6 điểm đó có kết quả là $a\sqrt{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $b$ là số nguyên tố. Tính giá trị của $a+b$.

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8 m, rộng 6 m và cao 4 m có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt thứ nhất treo tại vị trí điểm $A$ ở chính giữa bức tường 8 m và cách trần 1 m; chiếc quạt thứ hai treo tại vị trí điểm $B$ ở chính giữa bức tường 6 m và cách trần 1,2 m (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai vị trí treo quạt bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+z+2=0$, đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ và hai điểm $B\left(\frac{-1}{2};\frac{3}{2};0\right)$, $C(0;1;-1)$. Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và $(P)$, điểm $S$ di động trên đường thẳng $d$ ($S\ne A$). Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các đường thẳng $SB$ và $SC$, đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(AHK)$ và $(P)$. Với điểm $M$ tùy ý trên đường thẳng $\Delta$, giá trị nhỏ nhất của $MB+MC$ bằng

Một nhà kho gồm nền nhà $OABC$, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật gắn trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mắt một người quan sát đặt tại điểm $M(1;2;3)$ và quan sát một thanh $AB$ với $A(7;8;-3)$, $B(2;3;-3)$. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R$ và che khuất hoàn toàn thanh $AB$ đối với người quan sát tại điểm $M$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;0;10)$ và $B\left(3;4;\frac{19}{2}\right)$. Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $OAM$ không phải là tam giác nhọn và có diện tích bằng $20$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?